МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ
УНИВЕРСИТЕТ
ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ (МИИТ)
___________________________________________
Кафедра «Прикладная математика-1»
Е.Б.Арутюнян
МАТЕМАТИКА
Часть 1
Рекомендовано редакционно-издательским
советом университета в качестве
конспекта лекций
по дисциплине
«МАТЕМАТИКА»
для студентов специальности
«УПРАВЛЕНИЕ И ИНФОРМАТИКА
В ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ»
Москва – 2008
УДК 509
А 79
Арутюнян Е.Б. Математика. Часть 1: Конспект лекций. - - М.: МИИТ, 2008. – 92с.
Предназначено в качестве конспекта лекций по курсу «Математика» для студентов специальности «Управление и информатика в технических системах». Содержит первые два раздела курса: «Элементы аналитической геометрии» и «Введение в анализ».
Рецензенты: зав.кафедрой «Вычислительная математика» профессор В.Н.Деснянский; зам. зав.кафедрой прикладной математики и компьютерного моделирования РГУ нефти и газа им. И.М.Губкина профессор С.Ю.Жолков.
© Московский государственный
университет путей сообщения
(МИИТ), 2008
Раздел I. Элементы аналитической геометрии
1. Векторы на плоскости и в пространстве
1.1. Основные понятия
Векторы, как известно
из школьной геометрии, изображаются
направленными отрезками. Если вектор
изображается направленным отрезком с
началом А и концом В, то это
записывают так:
=
.
Обычно при этом вектор называют вектором
,
точку А называют его началом, а
точку В – концом; длина направленного
отрезка называется длиной, или
модулем вектора (обозначается
или
).
Вектор нулевой длины называется нулевым
вектором и обозначается
;
начало и конец нулевого вектора совпадают.
Вектор единичной длины называется
единичным вектором, или óртом.
Всякий вектор, кроме нулевого,
характеризуется не только длиной, но и
направлением. Направленные
отрезки, одинаковые по длине и направлению,
изображают один и тот же вектор. Векторы,
имеющие одинаковое направление, называют
сонаправленными; имеющие противоположные
направления – противонаправленными.
Противонаправленные векторы, одинаковые
по длине, называются противоположными;
вектор, противоположный вектору
,
обозначается –
.
Если два вектора можно изобразить направленными отрезками, лежащими на одной прямой, то векторы называются коллинеарными. Отсюда следует, что нулевой вектор коллинеарен любому вектору. Если два ненулевых вектора коллинеарны, то они либо сонаправлены, либо противонаправлены.
Если три вектора можно изобразить направленными отрезками, лежащими в одной плоскости, то векторы называются компланарными. Отсюда следует, что два коллинеарных вектора компланарны с любым вектором.
1.2. Линейные операции над векторами
Линейные операции – это сложение векторов и умножение вектора на число.
Пусть
даны векторы
и
.
Найти сумму этих векторов можно
двумя способами.
1.
Правило треугольника. Пусть
=
,
=
;
тогда
+
=
.
2. Правило
параллелограмма. Пусть
=
,
=
,
ABDC – параллелограмм;
тогда
+
=
.
Таким образом, при использовании правила треугольника начало вектора совпадает с концом вектора , а при использовании правила параллелограмма – с началом вектора .
Сложение векторов обладает свойствами, которые аналогичны свойствам сложения чисел:
1. + = + ;
2.
+(
+
)
= (
+
)+
;
3.
+
=
;
4.
+(–
)
=
.
Пусть
даны вектор
и число k. Произведение
k
определяется
следующим образом: если
=
или
k = 0, то k
=
;
если
и
k0,
то
=
,
причем векторы k
и
сонаправлены при k
>0 и противонаправлены при k
<0. В частности,
.
– единичный вектор, сонаправленный с
вектором
;
его называют ортом вектора
.
Умножение вектора на число обладает следующими свойствами:
1. k(m ) = (km) ;
2. (k+m) = k +m ;
3. k( + ) = k + k ;
4. 1. = .
Замечание. Пусть
два вектора коллинеарны. Если хотя бы
один из них нулевой, то он получается
умножением второго вектора на нуль.
Если ненулевые векторы
и
сонаправлены, то, например,
=
.
;
если противонаправлены – то
=
–
.
.
Итак,
два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда один из них получается из другого умножением на число.