Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Восточноукраинский национальный университет им. В. Даля

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

089-132.doc

Скачиваний:

Добавлен:

28.04.2019

Размер:

1.7 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 34 / 64 5 6 > Следующая >>>

Задача максимального быстродействия

Эта задача формулируется следующим образом: найти допустимое управление, переводящее заданный объект из начальной точки (множества) в конечную точку (конечное множество) за минимальное время. Она является частным случаем задачи с подвижными концами и нефиксированным временем (задача Майера). Если положить , то критерий оптимальности имеет вид , поэтому в данном случае , и функция Понтрягина . Если концы закреплены, то , и условия трансверсальности принимают вид

Рассмотрим задачу максимального быстродействия, когда объект описывается линейными дифференциальными уравнениями:

(6.62)

Эта задача называется линейной задачей максимального быстродействия.

В матричной форме уравнения объекта имеют вид

Предполагается, что эти уравнения являются уравнениями в отклонениях, поэтому конечное состояние, в которое нужно перевести объект, есть начало координат .

Функция Понтрягина

где подчиняется сопряженному уравнению

или сопряженной системе уравнений

Согласно принципу максимума, оптимальное управление находят из условия

или

где .

Если выполняются так называемые условия нормальности, то сумма обращается в нуль только в изолированных точках. В этом случае из последнего тождества следует, что координаты оптимального управления кусочно-постоянны и принимают крайние значения или :

В частном случае, когда ограничение имеет вид

Условие нормальности. Введем в рассмотрение ( ) матрицы

где - j-е столбцы матриц B,AB,...,A^n-1B .

Для объекта выполнено условие нормальности или условие общности положения, если матрицы (при ) невырождены, т.е. их столбцы линейно независимы, или det (при j=1,...,r). Объект в этом случае называется нормальным.

Для объекта

условие нормальности всегда выполнено.

Теорема об n интервалах. Если в линейной задаче максимального быстродействия объект является нормальным, и его характеристическое уравнение

имеет только действительные корни, то оптимальные управления кусочно-постоянны, они принимают только крайние значения и имеют не более интервалов постоянства, т.е. не более переключений.

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то число переключений зависит от начальных условий. Оно может быть сколь угодно большим, но конечным.

Пример 6.9. Определить оптимальное по быстродействию управление объектом, уравнения динамики которого в относительных единицах имеют вид

Решение. Преобразуем уравнение объекта к форме уравнений состояния:

Для данной линейной системы проанализируем выполнение условия нормальности. Из уравнений состояния видно, что

, ,

а следовательно, для матрицы получим выражения

и очевидно, что и система нормальна. Это, кстати, следует из самого условия, где система представлена линейным уравнением второго порядка.

Решим вопрос о применении теоремы об интервалах для данной системы.

Корни характеристического уравнения мнимые, а следовательно, теорему об интервалах применять нельзя. Рассмотрим, однако, систему с целью оценить характер полученного управления.

Составим функцию Гамильтона

Оптимальное управление находим из условия максимума H:

Для отыскания оптимального уравнения составим и решим управление Эйлера-Лагранжа

Полученную систему дифференциальных уравнений решим, как и в предыдущем случае, сведением к одному уравнению второго порядка

характеристическое уравнение которого имеет мнимые корни , которым соответствует общее решение вида

где константы или, что то же самое, определяются начальными значениями и , а выражается из уравнений Эйлера-Лагранжа:

Таким образом, оптимальное управление принимает вид

Теперь очевидно, что переключения будут происходить в точках , , , пока не будет достигнуто начало координат.

Дальнейшее исследование с оценкой фазовых траекторий и точек переключения обсуждается в задаче 7.5 следующего раздела.

Пример 6.10. Для системы

найти уравнение , переводящее её из состояния в начало координат за минимальное время, т.е. .

Решение. Поскольку это задача на максимальное быстродействие, то проанализируем систему на нормальность. Из условия очевидно, что:

, ,

а следовательно,

Таким образом, система нормальна.

Найдём собственные числа матрицы А:

Поскольку все собственные числа действительные, то к системе можно применить теорему об интервалах, из которой следует, что число переключений не должно превысить размерности задачи минус один (т.е. не более двух, т.к. в нашем случае ).

Для решения задачи составим гамильтониан

соответствующие уравнения Эйлера-Лагранжа и их решения:

Из структуры гамильтониана и принципа максимума следует, что:

Таким образом, очевидно, что , а знак определяется знаком квадратной функции , которая может иметь две, одну и ни одной точки, где она обращается в нуль (см. рис. 6.8).

Рис. 6.8. Возможные варианты поведения функции

Очевидно, что если начинать процесс с , то это не может дать оптимального результата, поскольку в этом случае начальное движение будет направлено в сторону от начала координат. Следовательно, варианты 1, 2, 3 (см. рис. 6.8) отпадают. Случаи 5 и 6, которые соответствуют для , не обеспечат достижения . Таким образом, характер изменения для некоторого процесса управления имеет следующий вид:

Подставим последовательно в уравнение движения системы и, используя начальные и конечные условия и условия непрерывности координат в точках переключения, получим: