6.4. Задача оптимального управления при ограничениях на управление

Достаточно часто при анализе реальных систем различной природы (в технике, экономике, экологии и т.п.) на управляющее воздействие накладываются естественные ограничения в виде неравенств:

. (6.24)

Ограничения вида (6.24) с помощью замены

приводим к стандартному виду

.

Тогда решим следующую задачу с фиксированными концами: перевести систему, эволюция которой описывается векторным уравнением

, (6.25)

где из начальной точки в конечную , минимизируя функционал

, (6.26)

при условии, что на вектор управлений u(t), где наложены ограничения:

(6.27)

Чтобы от допустимой замкнутой для управления области (6.26) или (6.27) перейти к открытой, введем дополнительные переменные в виде вектора такого, что

. (6.28)

Сформулированная задача представляет собой задачу Лагранжа

или в векторной форме

. (6.29)

Решение поставленной задачи определим из уравнений Эйлера-Лагранжа

(6.30)

где с учетом уравнений динамики (6.25), ограничений (6.28) и краевых условий.

В общем случае управление u(t) может представлять собой кусочно-непрерывную вектор-функцию времени. Тогда в точке разрыва управления необходимо использовать условия Вейерштрасса-Эрдмана, которые для данного случая принимают вид:

.

Эти условия означают непрерывность и на оптимальной траектории во всех её угловых точках .

В частном случае для линейной системы и квадратичного критерия:

где матрица Q неотрицательно определена, а R положительно определена.

Уравнения Эйлера-Лагранжа имеют вид:

, (6.32)

где

, .

Краевые условия для этой задачи необходимо выбрать в виде:

Последнее из уравнений в (6.32) имеет решение:

1. т.е. т.е.

2. т.е.

3. .

Если а , то, очевидно, из (6.28) следует, что и система (6.32) принимает обычный вид:

соответствующий случаю, когда на управление не накладываются ограничения.

Если = 0, то из (6.28) следует, и управление достигает граничного значения.

Пример. 6.4. Определить оптимальное управление скалярным объектом,

причем такое, что и которое минимизирует функционал , где q > 0, r > 0. Граничные условия имеют вид:

Решение. После ввода ограничения (6.28) функция Лагранжа для задачи имеет вид:

а следовательно, управления (6.32) можно записать совместно с уравнением динамики объекта и преобразованным ограничением

1. 
2. 
3. 
4. 
5. 

Третье уравнение имеет решения:

1. 
2. 
3. 

Рассмотрим эти случаи.

Случай 1. Из пятого уравнения следует, что а первые два и четвертое принимают вид:

. (6.33)

Решая характеристическое уравнение системы дифференциальных уравнений

получим значение характеристических чисел Отметим, что . Общее решение имеет вид:

Из граничных условий находим, что С₂ = 0 и, как следствие:

(6.34)

отсюда и из (6.33) получаем:

(6.35)

Управление (6.35) имеет место для тех значений x, для которых справедливо неравенство .

Случай 2 и 3. Если только = 0, то из пятого уравнения следует, что , т.е. принимает граничные значения.

Используя полученные результаты, зависимость управления от координат можем изобразить на плоскости (x,u) (рис. 6.4), а аналитически представить в виде системы уравнений:

Рис. 6.4. График зависимости u = u(x)

(6.36)

Рассмотрим поведение системы при a < 0. Положим, что начальная точка . Тогда в начальный момент включаем, в соответствии с (6.36), управление u = -u₀ и уравнение динамики принимает вид: для решения которого можем записать:

Очевидно, что решение устойчиво и при некотором t₁, значение координаты x(t) достигает границы , причём

,

и включается управление . При этом траектория описывается уравнением

откуда следует, что решение также устойчиво, а из начального условия следует, что С₁ = .

В целом траектории эволюции системы представлены на рис. 6.5. При a > 0 и начальной точке x(0) > решение имеет вид (рис. 6.6):

Рис. 6.5. Траектории системы при a < 0 Рис. 6.6. Траектории системы при a > 0

Если , то система неустойчива, т.к. при Если , то при росте t величина координаты x(t) уменьшается и достигает величины , когда включается управление Момент переключения определяется соотношением:

.

Далее эволюция системы описывается выражением

из которого следует, что в этом случае система устойчива.

Несколько иная ситуация при решении возникает, если, например, в задаче фиксированы t₀ и t_f,, и при ограничениях вида (6.24) требуется достичь максимального изменения по одной из координат, или требуется перейти из одной точки в фазовом пространстве в другую за минимальное время. Рассмотрим первую из этих задач.

Пример 6.5. Для динамической системы

(6.37)

найти управление, обеспечивающее максимальное удаление от начальной точки по координате x, т.е.

(6.38)

Решение. Используя структуру лагранжиана с учетом ограничения (6.28):

и уравнения Эйлера-Лагранжа, можем записать:

Последнее равенство возможно только при = 0, т.к., если , то из предыдущего равенства следует, что конечное управление, удовлетворяющее ограничению, не существует. Если же =0, то из ограничения следует, что управление u(t) принимает предельные значения +u₀ или –u₀. Если только то ни одно из управлений не решает поставленной задачи.

Тогда полагаем, что существует разрывное решение для u(t) такое, что

(6.39)

где - момент переключения, который нужно определить.

Используя управление в виде (6.39), уравнения динамики и краевые условия (6.37), получим после интегрирования:

откуда в силу требований непрерывности x₂(t) следует, что

Для координаты x₁(t) после интегрирования первого дифференциального уравнения динамики системы, с учётом начального условия , получим:

(6.40)

Из требований непрерывности x₁(t) можно записать

и в итоге, подставив значения С₁ и в (6.40), получим значение x₁max.

Решение последних примеров показывает, что решение двухточечных краевых задач достаточно нестандартно в каждом из даже таких простых случаев, рассмотренных нами, а более сложные задачи подобного типа приводят к сложным алгебраическим нелинейным системам уравнений. Поэтому целесообразно разработать единую методику решения задач управления с ограничениями вида неравенств.