12. Правила отыскания экстремумов функции.

Пусть функция y=f(x) определена и дифференцируема в некотором промежутке. Сформулируем правила отыскания экстремумов, т.е. максимумов и минимумов.

П усть в точке х=х₀ функция достигает максимума, тогда при x<х₀ функция f(x) возрастает, т.е. её производная f’(x)>0. При х=х_0, f’(x)=0 ( по т.Ферма)

П ри x>х₀ функция убывает, т.е. f’(x)<0, т.о. в точке максимума производная меняет знак с + на -.

Аналогично:

Пусть в точке х=х₀ функция достигает минимума, тогда при x<х₀ производная f’(x)<0. При х=х_0, f’(x)=0 ( по т.Ферма)

При x>х₀ функция убывает, т.е. f’(x)>0, т.о. в точке минимума производная меняет знак с - на +.

1 правило отыскание экстремумов:

1. Составить производную функции y’=f’(x).

2. Приравниваем производную к нулю f’(x)=0 и решаем уравнение, находим точки х=х₀, подозрительные на экстремум.

3. Исследуем эти точки по таблице:

х0	х0-∆х	х0	х0+∆х	Вывод
f’(x)	+	0	-	максимум
f’(x)	-	0	+	минимум
f’(x)	+	0	-	Точка перегиба ↑(возрастание)
f’(x)	-	0	+	Точка перегиба ↓(убывание)

В точке максимума производная меняет знак + на -, т.е.

f’(x) ↓, а производная убывающий функции отрицательна, т.е. в точке максимума f’’(x)<0.

Аналогично в точке минимума f’(x) меняет знак с – на +, поэтому f’’(x)>0.

Отсюда получаем 2ое правило отыскания экстремумов функции:

1. Составить производные первого и второго порядков.

2. Приравнять производные к 0. Найти точки х₀ подозрительные на экстремумы.

3. Исследуем точки по таблице.

х0	f’(x)	f’’(x)	Вывод
х0	0	-	максимум
х0	0	+	минимум
х0	0	0	Сомнительный случай (исп. 1ое правило)

Отметим, что экстремумы могут быть не только в тех точках, где f’(x)=0, но и в тех, где нарушается условие дифференцируемости функции, т.е. в тех точках, где производной не существует или она бесконечна.

В точке х1 производной не существует, т.к. нет единого направления касательной. А в точке х2 производная равна бесконечности, т.к. f’(x)=tgα, а tg90^◦=∞.

13. У равнение прямой с угловым коэффициентом. Уравнение касательной функции. Асимптоты и их уравнения.

Выведем уравнение прямой, проходящей под углом α к положительному направлению ОХ и отсекающей на оси OY отрезок OB=b.

OAB=α ; tgα=k-угловой коэффициент

OB=b; OM₁=x; OM₂=y

MM₁=MC+CM₁₌OB+BM₂=OB+BC*tg CBM;

MM₁=OM₂=y; y=b+x* tgα

Y=kx+b (1) - уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Пусть прямая проходит через точку M_o(x_o;y_o), тогда координаты удовлетворяют условию y_o=kx_o+b (2)

Вычтем из равенства (1) равенство (2): y-y_o=k(x-x_o) (3)- уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении.

По геометрическому смыслу f’(x)- производная f’(x₀)- это тангенс угла наклона касательной графика функции к оси OX,равный k.

Т.о. уравнение в точке M_o(x_o;y_o) имеет вид:

y-f(x₀)=f’(x₀)*(x-x₀), т.к. y_o=f(x₀), а k= f’(x).

Т.о. мы нашли уравнение касательной к графику функции.

О пр. Асимптота кривой с бесконечной ветвью это такая прямая, что расстояние точки кривой от этой прямой безгранично уменьшается, при удалении точки по бесконечной ветви.

П усть в точке х=с функция y=f(x) имеет разрыв второго рода.

Прямая х=с- вертикальная асимптота к графику функции.

Могут быть также наклонные асимптоты к графику функции.

;

(4);

k= - угловой коэффициент асимптоты.

=0;

b= (5); Если пределы (4) и (5) существуют и конечны, то существует асимптота к графику функции: y=kx+b, причём если k=0, то y=b-горизонтальная асимптота.

Е сли пределы (4) и (5) различны, то существуют 2 асимптоты: правая и левая, которые иногда могут сливаться в одну асимптоту.