
- •Л1 02.09.09 Алгебра многочленов
- •§1: Многочлены как функции действительной переменной
- •§2 Алгебраическое определение кольца многочленов
- •§3 Кольцо многочленов над областью целостности
- •§4 Деление с остатком многочлена на двучлен (X- )
- •§5 Наибольшее возможное число корней в области целостности.
- •§6 Деление с остатком
- •§ 7 Наибольший общий делитель многочленов. Алгоритм Евклида.
- •§ 8 Наименьшее общее кратное двух многочленов.
- •§9 Многочлены не приводимые над полем
- •§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей
- •§11 Формальная производная многочлена
- •§12 Не приводимые кратные множители многочлена.
- •§ 13 Кратные корни многочлена
- •§14 Разложение многочлена по степеням двучлена
- •§15 Кольцо многочленов от n переменных
- •§16 Степень многочлена. Лексикографическое упорядочение членов многочлена.
- •§17 Разложение многочлена от n переменных в произведение не приводимых множителей
- •§18 Cсимметрические многочлены
- •§ 19 Основная теорема о симметрических многочленах.
- •§20 (Дополнение к теме нод). Результант 2 многочленов
- •§21 Многочлены над полем комплексных чисел
- •§ 22 Зависимость между корнями. Теорема Виета.
- •§23 Свойства мнимых корней многочлена с действительными коэффициентами
- •§24 Разложение многочлена над полем действительных чисел в произведение не приводимых множителей
- •§25 Решение кубических уравнений
- •§27 Решение уравнений 4 степени(Феррари)
- •§28 Теорема Штурма(отделение действительных корней многочлена)
- •§29 Отыскание рациональных корней многочлена
- •30 Т(Критерий не приводимости Эйзенштейна):
- •31 Простое алгебраическое расширение как линейное пространство.
- •32 Избавление от иррациональности
§11 Формальная производная многочлена
В курсе математического анализа f(x)
как функция действительной переменной
имеет производную для любого
и производная является многочленом
степень которого на единицу меньше
f(x). Так
производная понимается как конечный
предел отношения приращения функции к
приращению аргумента. Производную в
алгебре определить так нельзя так как
в абстрактном поле P над
которым рассматривается многочлен в
общем случае понятие придела лишено
смысла. Например вопле вычетов понятие
приращения аргумента не имеет смысла,
по этому производную в алгебре понимают
формально. Производной многочлена f(x)
∈P[x]
называют многочлен
коофициенты которого являются кратными
кофицеентам многочлена f(x).
Производная многочлена 0 степени и
нулевого многочлена принимается равной
0. Будем предполагать что, поле P
имеет нулевую характеристику тогда для
нахождения производных остаются
справедливы правела дифференцирования
рассмотренные в математическом анализе.
В случае конечной характеристики поля P указанные правила дифференцирования могут нарушатся.
Аналогично 1 производной можно определить 2 и другие формальные производные.
§12 Не приводимые кратные множители многочлена.
О1) Не приводимый над полем P называется множитель кратности k≥1 многочлена f(x) если в каноническом разложении многочлен p(x) содержится в k степени.
Т: если неприводимый над полем P нулевой характеристики, многочлен p(x) в каноническом разложении f(x) над P входит в k степени, то в каноническое разложение формальной производной он входит в k-1 степени.
Доказательство:
Теорема будет доказана если мы покажем
что, (1) не делится на p(x).
Второе слагаемое делится на p(x)
а, первое слагаемое не делится на p(x)
так как g(x)p(x)
взаимно просты,
.
P(x) не
приводим, значит
значит p(x)
не нулевой таким образом в каноническом
разложении
входит в k-1 степени.
■
Замечание: Если не приводимый многочлен над полем P нулевой характеристики в каноническом разложении кольца P[x] содержится в первой степени то в каноническое разложение производной он не входит.
Доказательство:
Значит в каноническое разложение p(x) войти не может.
■
Замечание: Чтобы многочлен f(x) не имел кратных множителей над полем P необходимо и достаточно чтобы f(x) и f`(x) были взаимно простыми.
Доказательство:
⟹ Пусть многочлен f(x) не содержит в каноническом разложении кратных множителей тогда по следствию (1) эти множители в каноническом разложении производной f`(x) отсутствуют то есть f(x) и f`(x) не имеют общих делителей кроме единице (f(x),f`(x))=1
⟸ Пусть (f(x),f`(x))=1. Рассуждая с помощью метода от противного, приходим к противоречию.
■
§ 13 Кратные корни многочлена
О) Элемент
называется корнем k-ой
кратности для многочлена
если
но не делится
.
Пример 1:
x=2 - корень 2 кратности.
Т1: Чтобы элемент
был корнем k-ой кратности
необходимо и достаточно, что бы выполнялось
условие
(1)
Доказательство:
⟹ Пусть
корень k-ой кратности для
многочлена
тогда по определению будим иметь
то есть
где
,
учитывая, что в разложении f(x)
он входит в k степени то
в его производную он войдет в k-1
степени:
где
причем
.
Аналогично по теореме предыдущего
параграфа не приводимый множитель
войдет в k-2 степени.
,
где
причем
действуя так далее находим
причем
не
,
т.е.
.
⟸ Пусть выполнены требования 1 то есть
корень многочлена f(x)
пусть кратность этого корня равна
и она отличается от k:
1)
<k
-1<k-1
учитывая, что
≤k-1
(по доказанной первой части теоремы
полученные соотношения противоречивы.
2) >k по первой части доказанной теоремы получится:
получили противоречивые соотношения
таким образом
.
■