§9 Многочлены не приводимые над полем

О1) Многочлен называется не приводимым над полем P если f(x) не является константой и f(x) не имеет делителей отличных от константы и от многочленов вида c*f(x) c 0. Другими словами f не приводим над P если : ст(f(x)≥1 и из равенства f(x)=p(x)q(x) следует что, ст(p(x))=0 или ст(q(x))=0. Понятие не приводимого многочлена является аналогом простого числа в кольце целых чисел.

О2)Многочлен f(x)∈ P называется приводимым или составным над полем P если и f(x)=p(x)q(x) причём

Понятия приводимости и неприводимости многочлена относительны так как зависят над каким поле рассматривается многочлен.

Т1: Многочлен 1 степени является не приводимым над любым полем P.

Доказательство(методом от противного):

Пусть f приводим на P тогда f (x)=p(x)q(x) где ст p(x)≥1, ст q(x)≥1

Ст f(x)=1, ст p(x)q(x)≥ст p(x)+ст q(x)≥1+1=2

Степень многочленов левой части равна 1 а, правой не меньше 2 а, по этому полученное равенство не возможно, на основании равенства многочленов а, следовательно наше равенство не верно.

Свойства не приводимых многочленов:

1) если p(x) не приводим то и c*p(x) тоже не привадим.

2) если многочлен p(x) не приводим а, многочлен f(x) произвольный то (f(x),p(x))=1 или f(x)⋮p(x)

Доказательство:

Так как p(x) не приводим то p(x)⋮c, c 0 или p(x)⋮p(x) по этому f(x) и p(x) в качестве общего делителя может иметь либо константу c либо многочлен p(x). Из этого следует что, (f,p)=1 следовательно f(x)⋮p(x).

3) если не приводимой многочлен над полем P делится на другой не приводимый многочлен q(x) то f(x)=C*q(x). (такие многочлены называют ассоциированными)

Доказательство:

По условию P(x)⋮q(x)p(x)=g(x)s(x), так как p(x) g(x) не приводимы то s имеет нулевую степеньs(x)=c 0.

§10 Разложение многочлена в произведении нормированных не приводимых множителей

Т1: Любой многочлен f(x) ∈P[x] степени не ниже первой представим в виде: - не разложимы, при чем такое представление единственно с точностью до постоянного множителя и порядка.

Доказательство:

Если многочлен f(x) не приводим на полем P то утверждение теоремы справедливо.

Пуст f(x) приводим над P и существует не приводимый не приводимый над P такой, что тогда . Если не приводим над P , то если приводим , то имеет делители тоесть найдестя что:

Тогда если не приводим то пологая получаем разложение f(x) на не приводимые множители в противном случае можно найти многочлен такой, что действуя так и далие после конечного числа шагов получим представление данного многочлена в виде:

не приводим над полем P переобозначив его как получим .

Докажем единственность пусть для f(x) получено другое представление.

из нашего предположения следует

из (1) следует, что правая часть равенства (1) должна делится на каждый из многочленов не приводимых над P не нарушая общности будем считать что, от сюда следует так как и не приводимы то по своству 3 неприводимых многочленов должны отличатся константой. учитывая это соотношения и подставив их в равенство (1) и сократив на то получим полученное равенство не возможно это значит, что предположение о существование другого разложения не верно.

Замечание: Представление многочлена f(x) в Т1называют каноническим разложением многочлена f(x) над полем P. В разложении представленном в Т1 не приводимые множители могут встретится какой-то число раз (могут повторится) тогда указанное представление можно записать более компактно в виде:

Пример 1:

В общем случае многочлены в каноническом разложении f(x) имеют старшие коэффициенты отличные от единицы. Каждый из них нормировать то есть представит нормированный тогда каноническое представление многочлена примет вид:

Пример 2:

Замечание: канонические разложение дает возможность найти быстро НОД и НОК:

Пусть

Пример 3: