Л1 02.09.09 Алгебра многочленов

Лит: Винбег Алгебра многочленов

Задачник практикум

Т1: Многочлены от одной переменной

§1: Многочлены как функции действительной переменной

Рассмотри понятия многочлена или целой рациональной функции от одной переменной.

О1) функция вида:

(1) –называется многочленом

Где действительные числа, x действительная переменная, n целое число- степень многочлена.

коэффициенты, Число n называют степенью многочлена, – свободный член.

С точке зрения мат записи имеем сумму например:

- 1 степени;

-2 степени;

Частным случаем является постоянная функция f(x)=a ,a-cost.

Многочлен коэффициенты которого равны 0 называется, многочлен нулевой степени.

Заметим что над многочленами можно выполнять: сложение, вычитание, умножения в результате чего получается снова многочлен. Пусть имеется многочлен (1) и многочлен: ;(2)

тогда:

;

Произведением многочленов f и g называется сумме всевозможных произведений U*V где U любой член из f(x), а V из g(x) тогда:

;

где:

Так как сумма, разность и произведение многочленов также являются многочленом то многочлены образуют под кольцо в кольце всех функций действительного аргумента. Кольцо многочленов от действительной переменной x обозначается R[x] . Поскольку кольцо всех функций коммутативно и ассоциативно кольцо R[x] также обладает этими свойствами а значит в нем существует единичный элемент f(x)=1. Многочлены в алгебре также в связи с решением уравнений f(x)=0 где левая часть многочлен n-ной степени от одной переменной то в этом случае многочлен рассматривается как многочлен комплексной переменно. В алгебре рассматривают многочлены на более общих алгебраических системах, коэффициенты которых принадлежат произвольному кольцу, значительно отличаются от многочленов с числовыми коэффициентами.

§2 Алгебраическое определение кольца многочленов

О1) Пусть R[x] произвольное кольцо многочленов от переменной х с коэффициентами из R назовем формальное выражение:

(1)

где n целое число выражение (1) надо рассматривать как единый символ у которого операции над отдельными частями не подразумевается будем называть коэффициентами многочлена (1) при , а для всех k>n коэффициент при равен 0 для обозначения многочлена используют .

Два многочлена будем считать равными если каждый коэффициент из равен соответствующему коэффициенту из и записывается f(x)=g(x).

Для многочленов (1) и(2) определим их сумму f(x)+g(x) и произведение f(x)*g(x) по формулам рассмотренным в §1. Эти определения согласуются с данным выше определением равенства многочленов:

f1(x)=f2(x);

g1(x)=g2(x);

f1(x)+g1(x)=f2(x)+g2(x);

f1(x)*g1(x)=f2(x)*g2(x);

Свойства умножения и сложения многочленов

1. коммутативность сложения путь f,g заданы (1) и(2) тогда согласно определения операции сложения будим иметь:

так как коэффициенты многочлена это элементы кольца R то, , а следовательно мы получим g(x)+f(x)= f(x)+g(x)

2. ассоциативность сложения

доказывается аналогично сделать дома

3. существование нуля. Назовем нулевым многочленом такой у которого коэффициенты равны 0 и обозначим символом 0. этот многочлен играет роль нейтрального элемента по сложению f(x)+0=f(x)

4. существование противоположного элемента –f(x) его коэффициенты противоположны соответствующим коэффициентам f(x), f(x)+(-f(x))=0

5. дистрибутивность умножения относительно сложения

6. ассоциативность умножения

доказать самостоятельно

Свойства 1-6 означают что множество многочленов коэффициентами из кольца R образует кольцо относительно операций сложения и умножения многочленов.

Как и во всяком кольце в кольце многочленов можно определить операцию их вычитания.

Кольцо R является под кольцом кольца многочленов

Предположим что в кольце R содержит единицу

По формуле произведения многочленов можно найти квадрат этого многочлена, куб и в общем случае:

умножая в поле многочленов элемент:

и выбрав мы можем утверждать, что .

Путем сложения таких слагаемых получим

Коэффициенты этого многочлена R-под кольцо.

Введем понятие степени многочлена

Степенью не нулевого многочлена f(x) называется наибольшее из таких чисел n, что (сстепень нулевого многочлена считается равной мину бесконечности) и обозначается ст f(x) всякий многочлен степени большей или равной 0 будет записан в виде (1) где . При этом – называют старшим членом многочлена (1).

Если старший член равен 1 то он называется нормированный(приведённый) многочлен.

Рассматривая формулы по которым определяются сумма многочленов мы видим, что полученный многочлен не содержит члены степени которых выше чем

А произведение не содержит члены степень которых выше m+n

Пример 1: