- •Конспект лекций
- •2 Семестр
- •Утверждено
- •§2. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •§3. Линейные дифференциальные уравнения
- •§4. Диференціальні рівняння вищих порядків
- •§5. Окремі класи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах або допускають зниження порядку
- •§6. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •§7. Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •§8. Неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами. Метод невизначених коефіцієнтів
- •Диференціальні рівняння вищих порядків Основні означення і поняття. Теорема про існування і єдність розв'язку
- •§ 2. Окремі класи диференціальних рівнянь, що інтегруються в квадратурах або допускають зниження порядку
§7. Однорідні лінійні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
Як уже зазначалося, основною задачею в диференціальних рівняннях є знаходження їх загального розв'язку. Ця задача найбільш повно вивчена для лінійних диференціальних рівнянь другого порядку із сталими коефіцієнтами, тобто рівнянь виду
(54)
де — сталі дійсні числа, а Q(х) — неперервна функція на деякому проміжку (а; b). Для таких рівнянь можна всі розв'язки знайти в квадратурах, а в деяких випадках навіть виразити ці розв'язки через елементарні функції.
Розглянемо спочатку випадок, коли в рівнянні (54)
Т оді рівняння
(55)
називають однорідним диференціальним рівнянням другого порядку.
Знайдемо розв'язок диференціального рівняння (55) методом Ейлера, а саме, у вигляді
(56)
де , — деяке невизначене стале число (дійсне чи комплексне). Знайшовши похідні
і підставивши їх разом з функцією (56) у ліву частину диференціального рівняння (55)
матимемо
Звідси випливає, що функція (56) е розв'язком диференціального рівняння (55) тоді і тільки тоді, коли многочлен
д орівнює нулю, тобто
(57)
Многочлен називають характеристичним многочленом диференціального рівняння (55), а рівняння (57) — характеристичним рівнянням диференціального рівняння (55).
Характеристичне рівняння (57) є квадратне рівняння відносно невідомого числа , корені цього рівняння визначаються за формулою
Числа і називають характеристичними числами.
Т оді, як відомо, відносно коренів і можуть бути такі три випадки:
Випадок 1. і е дійсні і різні числа:
Це буде тоді і тільки тоді, коли дискримінант
Диференціальне рівняння (55) при цьому має два різні розв'язки
Побудуємо детермінант Вронського для цих розв'язків:
Отже, розв'язки у1 і у2 є лінійно незалежні в інтервалі ]—оо; + оо[. Тому функція
(58)
де С1, С2 — довільні сталі числа, є загальним розв'язком диференціального рівняння (55).
Випадок 2. Числа і — комплексні. Це буде тоді i тільки тоді, коли дискримінант
Тоді
Позначивши
дістанемо
Отже, корені характеристичного рівняння (57) у випадку 2 є комплексно спряжені числа.
Підставивши значення і у формулу (56), матимемо комплексні розв'язки диференціального рівняння (55)
Використовуючи формули Ейлера, перший розв'язок можна записати так:
Позначимо тут дійсну частину через
(60) а уявну частину — через
і доведемо таку лему.
Лема. Функції у1 = у1 (х) і у2 = у2 (х) є розв'язками диференціального рівняння (55).
ПРИКЛАД
Знайти загальний розв'язок диференціального рівняння
Розв'язання. Складемо характеристичне рівняння
О тже,
За формулою (63) загальний розв'язок заданого диференціального рівняння має вигляд
Випадок 3. Числа і рівні, . Це буде тоді і тільки тоді, коли дискримінант
(64)
Д істаємо одне характеристичне число
Отже, диференціальне рівняння (55) має розв'язок
Доведемо, що тоді розв'язком диференціального рівняння (55) є також функція
Справді, знайшовши похідні функції
та врахувавши умову (64), дістаємо
Доведемо, що розв'язки у1 і у2 є лінійно незалежні в інтервалі І— оо; + ооІ. Побудуємо детермінант Вронського
Отже, загальний розв'язок рівняння (55) при записується у вигляді
(65) де С1 і С2 — довільні сталі числа.