§4. Диференціальні рівняння вищих порядків

Основні означення і поняття. Теорема про існування і єдність розв'язку

Розглянемо тепер диференціальні рівняння вищих порядків, тобто рівняння, що містять похідні вищих порядків. Порядок най­вищої похідної називають порядком диференціального рівняння. Зокрема, диференціальним рівнянням порядку п називають співвідношення виду

д е х — незалежна змінна, у = у (х) — шукана функція, а у', ... ...,

— відповідні похідні функції у. Величини х, у, у', ... ..., можуть і не входити у рівняння (1), але похідна порядку п повинна входити обов'язково.

Припустимо, що рівняння (1) розв'язне відносно старшої похід­ної

(2)

Рівняння (2) називають диференціальним рівнянням порядку п, розв'язаним відносно похідної n-го порядку. У по­дальшому вивчатимемо диференціальні рівняння виду (2).

Будь-яка неперервна і п раз диференційована на проміжку <a;b> функція

називається розв'язком диференціаль­ного рівняння (2) на цьому проміжку, якщо вона перетворює це рів­няння в тотожність

я ка виконується для будь-якого . Зазначимо, що а і b можуть бути невласними числами, відповідно — і + .

Процес знаходження розв'язку диференціального рівняння (2) називають інтегруванням цього рівняння.

Т ак, диференціальне рівняння другого порядку

(3)

м ає в інтервалі розв'язок у = , оскільки задана функ­ція на цьому інтервалі неперервна, двічі (навіть нескінченне число раз) диференційована і справджується тотожність

Д иференціальне рівняння

(4)

н а піввідрізку [0; ] має розв'язок

У цьому можна впевнитися безпосередньою підстановкою. Якщо права частина диференціального рівняння (2) задовольняє певним умовам, то таке рівняння має загальний розв'язок

(5)

де С1 С2, Сn— довільні сталі.

Розв'язок, який можна дістати із загального розв'язку (5) при окремих числових значеннях сталих С1, С2, ..., Сn, називають окремим розв'язком диференціального рівняння (2).

Т ак, диференціальне рівняння (3) в інтервалі ]—оо; + оо[ має загальний розв'язок

(6)

де С1 і С2 — довільні сталі. Справді, доведемо, що функція (6) є розв'язком диференціального рівняння (3). Для цього знайдемо другу похідну цієї функції:

О тже, . Оскільки розв'язок (6) містить дві довільні сталі, то він є загальним розв'язком.

Розглянутий раніше розв'язок у = ех є окремим розв'язком диференціального рівняння (3), бо він утворюється із загального при С1 = 1 і С2 = 0.

Диференціальне рівняння (4) має загальний розв'язок

д е С1? С2, С3 — довільні сталі. Справді, знайдемо третю похідну функції (7) :

Підставляючи значення у рівняння (4), дістаємо

Ц я тотожність справджується для будь-якого

О скільки розв'язок (7) містить довільні сталі С1 С2 і С3, то він є загальним розв'язком диференціального рівняння (4).

Розв'язок є окремим розв'язком диференціального рів­няння (4), бо він

утворюється із загального розв'язку (7) при С1 = 1, С2 = С3 = 0.

З геометричної точки зору загальний розв'язок диференціаль­ного рівняння (2) є сім'я кривих, залежних від п параметрів С1, С2, ..., Сn, а окремий розв'язок — окремою кривою з цієї сім'ї. Ці криві називають ще інтегральними кривими диферен­ціального рівняння (2).

Для диференціального рівняння порядку п виду (2), як і для диференціального рівняння першого порядку, розглядається задача Коші (задача з початковими умовами), яка ставиться так: серед усіх розв'язків рівняння (2) треба знайти той розв'язок у = у (х), який при х = х0, де х0 — довільна точка проміжку <a; b>, задовольняє умови:

(8)

д е , ... , — довільні наперед задані дійсні числа.

Числа , . .... , називають початковими даними розв'язку у = у (х), а число — початковим значенням незалежної змінної x. Взяті разом числа х0, у0, у0, ..., називають початковими даними рівняння (2), а умови (8) — почат­ковими умовами диференціального рівняння (2).

Так, для диференціального рівняння другого порядку

(9)

задача Коші полягає в знаходженні розв'язку у = у (х) цього рів­няння, який задовольняє початкові умови:

(10)

Д ля диференціального рівняння другого порядку (9) задача Коші набирає такого геометричного змісту: серед усіх інтегральних кривих рівняння (9) виділити (знайти) ту Інтегральну криву, яка проходила б через задану точку М₀ (х₀; у₀) і мала б у цій точці заданий напрям дотичної, тобто (рис 93).

Дамо механічну трактовку задачі Коші. Для цього розглянемо диференціальне рівняння

яке описує рух точки вздовж прямої під дією сили

Задача Коші для диференціального рівняння (12) полягає в тому, що з усіх рухів (розв'язки диференціального рівняння (12) називають в механіці рухами), які визначаються цим рівнянням, треба знайти рух х — х (t), який задовольняє початкові умови:

(ІЗ)

т обто знайти такий рух, в якому рухома точка в заданий момент часу tо знаходилася б у положенні х₀ і мала б задану початкову швид­кість .

Як і для диференціального рівняння першого порядку, так і для диференціального рівняння порядку п природним є питання: яким умовам повинна задовольняти права частина рівняння (2), щоб задача Коші для даного рівняння мала розв'язок і цей розв'язок був би єдиним.