§3.Интегрирование рациональных алгебраических функций:

Важнейшим классом элементарных функций, интеграл от которых находится при помощи достаточно простой последовательности действий, является класс рациональных функций. Всякая рациональная функция R (x) может быть представлена в виде дроби , где Р (х) и Q (x) – многочлены:

R (x) = .

Выполним интегрирование дробно-рациональной функции.

Прежде всего заметим, что если степень m числительна Р (х) больше или равна степени n знаменателя Q (x), то, разделив многочлен P (x) на многочлен Q (x), получим целую часть N (x) и в остатке многочлен Р₁ (х) не выше (n – 1) – й степени, следовательно:

= N (x) +

Интегрирование многочлена N (x) не доставляет никаких затруднений, и значит, весь вопрос в интегрировании дроби, степень числителя которой меньше степени знаменателя.

Итак, пусть m > n. Такую рациональную дробь иногда называют правильной.

Разложение на простейшие дроби. Мы предполагаем, что многочлены Р (х) и Q (x) имеют действительные коэффициенты, причём коэффициент многочлена Q (x) при хⁿ равен 1 (этого всегда можно достигнуть делением числителя и знаменателя на коэффициент при хⁿ).

Многочлен Q (x) – знаменатель заданной подынтегральной рациональной дроби – может быть представлен, как известно из алгебры, в виде произведения линейных и квадратных множителей с действительными коэффициентами:

Q (x) = (x – a)^k … (k² + px + q)^t …,

где а есть k – кратный действительный корень уравнения Q (x) = 0, а квадратное уравнение x² + px + q = 0 имеет сопряжённые комплексные корни (и значит, p² – 4q < 0), которые служат t – кратными сопряжёнными комплексными корнями уравнения Q (x) = 0). Интегрирование рациональной дроби мы основываем на знании размножения многочлена на действительные множители (или, что равносильно этому, на знании всех корней уравнения Q (x) = 0). Задачей отыскания корней алгебраического уравнения Q (x) = 0 мы здесь специально заниматься не будем и в последующем полагаем, что корни так или иначе являются известными. При этом оказывается, что дробь можно представить в виде суммы так называемых простейших дробей 1-го и 2-го видов:

, ,

где – постоянные.

Каждому множителю (х – а)^k в представлении знаменателя Q (x) в разложении дроби на слагаемые соответствует сумма k простейших дробей 1-го вида:

а каждому множителю (x² + px + q)^t соответствует сумма t простейших дробей 2-го вида:

Доказывать это предложение в общем случае мы не будем; на подробно рассматриваемых примерах будет видно, так можно фактически осуществить разложение заданной дроби на простейшие дроби, т.е. найти коэффициенты A_k, A_k-1, …, A₂, A₁, B_t, C_t, B_t-1, C_t-1, …, B₂, C₂, B₁, C₁.

Таким образом, при разложении знаменателя Q (x) на множители имеет место разложения дроби на слагаемые:

+…

Отсюда следует, что интеграл от всякой рациональной дроби сводится к интегралам от простейших рациональных дробей 1-го и 2-го видов, а эти интегралы находятся совсем без труда, что мы и увидим опять-таки на нижеследующих примерах. Эти примеры необходимо разобрать основательно, ибо на них мы демонстрируем, избегая общих рассмотрений, возможные случаи интегрирования рациональных дробей.

Итак, предполагаемый метод интегрирования рациональных дробей состоит в том, что, мы составляем разложение дроби и данный интеграл заменяем суммой интегралов от соответствующих простейших дробей.

1. Примеры:

1). Разложение подынтегральной дроби на простейшие дроби должно иметь вид = = + +

(какими буквами обозначены коэффициенты, не имеет, конечно, никакого значения). Прежде всего нам нужно найти коэффициенты А, В, С.

Освобождаясь от знаменателей, получим:

x-3 = A (x² – 1) + Bx (x + 1) + Cx (x – 1).

Так как это тождество, то коэффициенты при одинаковых степенях х должны быть равны между собой:

0 = А + В + С, 1 = В- С, -В = -А.

Из этой системы трёх уравнений с тремя неизвестными находим:

А = 3, В = -1, С = -2.

Ещё проще для определения коэффициентов А, В, и С поступить так: полагая последовательно х = 0, х = 1, х = -1, получим:

-3 = -А, -2 = 2В, -4 = 2С, т.е. снова

А = 3, В = -1, С = -2.

Итак, тождественно

= - - , поэтому

= 3∫ - ∫ -2∫ = 3 ln |x| - ln |x – 1| - 2 ln |x + 1| + C =

= + C.

2) . Разложим знаменатель подынтегральной дроби на множители. Замечая, что он обращается в нуль при х = -1, разделим его на х + 1; в частном получится х² – 4х + 4 = (х – 2)², и значит разложение дроби на простейшие должно иметь вид

= = + + .

Найдем коэффициенты А, В, С. Приводя к общему знаменателю и освобождаясь от него, получим:

х – 5 = А (х – 2)² + В (х + 1) + С (х + 1) (х – 2).

Здесь удобно положить х = -1, х = 2, х = 0; получаем:

-6 = 9А, -3 + 3В, -5 + 4А + В – 2С

Отсюда:

А = - , В = -1, С = .

Следовательно,

= - - + =

- ln |x + 1| + + ln |x – 2| + C = + ln | | +С.

3) . Знаменатель легко раскладывается на множители:

х⁴ + х³ – х – 1 = х³ (х + 1) – (х + 1) = (х + 1) (х³ – 1) = (х + 1) (х – 1) (х² + х + 1).

Разложим подынтегральную функцию на простейшие:

= = + +

Коэффициенты А, В, C, D находим из тождества

12 = А (х – 1) (х² + х + 1) + В (х + 1) (х² + х + 1) + (Сх + D) (x + 1) (x – 1).

Подставляем сюда четыре различных численных значений х, например: х = 1, х = -1, х = 0, х = 2, - получаем систему

12 = 6В, 12 = -А + В – D,

12 = -2A, 12 = 7A + 21B + 3 (2C + D),

из которой находим:

А = -6, В = 2, с = 4, D = -4.

Следовательно,

= -6 ∫ +2 ∫ + 4 ∫ .

Последний интеграл в правой части находим, выделяя в числителе производную знаменателя:

∫ = ∫ = ∫ - ∫ = ln (x² + x +1) - ∫ = ln (x² + x +1) - arctg + C.

Окончательно: =

= -6 ln |x + 1| + 2 ln |x – 1| + 2 ln (x² + x + 1) - 4 arctg + C =

=ln + 2 ln (x² + x + 1) - 4 arctg + C.

---------------------

4) ∫ . Знаменатель подынтегральной дроби уже дан своим разложением на множители. Имеем:

= + + ,

где постоянные А, В, С, D, E будут найдены из того условия, что это равенство тождественное. Освобождаемся от знаменателей:

х² + х – 1 = А (х² + 1)² + (Bx + С) х + (Dx + E) x (x² + 1).

Подставим в это равенство пять каких-нибудь частных значений х, например: х = -2, х = -1, х = 0, х = 1, х = 2, - придем к системе из пяти уравнений для нахождения пяти неизвестных:

1 = 25 А – 2 (-2В + С) –10 (-2 D + E),

-1 = 4 A – (-B + c) – 2 (- D + E),

-1 = A,

-1 = 4 A + (B + c) + 2 (D + E),

5 = 25A + 2 (2B + C) + 10 (2D + E).

Решая эту систему, находим: A = -1, D = 2, C = 1, D = 1, E = 0.

Значит, тождественно равны дроби

= + + ,

и поэтому

∫ = -∫ + ∫ dx + ∫ dx

Первый и третий интеграл справа уже известны, они равны соответственно

–ln x и ln (x² + 1).

Специально займемся вторым интегралом:

∫ dx = ∫ dx + ∫ = - + ∫ .

Последний интеграл в правой части обозначении через I₂ (в соответствии с тем, что t = 2):

I₂ = ∫

Применим здесь следующий прием. К числителю подынтегрального выражения прибавим и вычтем х² и разобьём интеграл на два:

I₂ = ∫ = ∫ - ∫ = ∫ - ∫ ;

Применим интегрирование по частям:

= dv, v = ∫ = - ,

x = u du = dx,

получим:

= = .

Подставляем выражения для I₂, найдем:

I₂ = + ∫ ,

что можно записать так:

I₂ = + I₂.

Мы привели интеграл I₂ к интегралу I₁ – в данном случае уже извесному – того же типа, но показатель степени знаменателя подынтегральной простейшей дроби здесь на единицу меньше. Так как I₁ = arctg x, то их получаешь окончательно:

∫ = - ln x - + + arctg x + ln (x² + 1) + C =

= + arctg x + C.

Легко проверить правильность ответа: производная правой части равна подынтегральной функции.

Рассмотренные четыре примера иллюстрируют четыре возможных случая интегрирования рациональной дроби при помощи разложения её на слагаемые простейшие дроби.