Формула парабол ( формула Симпсона )
Разделим отрезок [а, в] на четное число частей п =2т. Площадь криволиней-ной трапеции, соответствующий первым двум отрезкам [хо, х1] и [х1, х2] и ограниченной заданной кривой у = f ( x ), заменим площадью такой криволинейной трапеции, которая ограничена параболой второй степени, проходящей через 3 точки : М(хо,yo) ; M1(x1, y1) ; M2(x2 , y2),
и имеющей ось, параллельную оси О у. Такую криволинейную трапецию, будем называть параболической трапецией.
Уравнение параболы с осью, параллельной оси Оу, имеет вид
у = А х² + В х + С
Коэффициенты А, В и С однозначно определяются из условия, что пара-бола проходит через три заданные точки. Аналогичные параболы строим и для других пар отрезков. Сумма площадей параболических трапеций и дают приближенное значение интеграла.
М3 М4 М5
М М1
М2
М6
О хо=а х1 х2 х3 х4 х5 х6=в
Вычислим сначала площадь одной параболической трапеции.
Лемма. Если криволинейная трапеция ограничена параболой y = Ax² + Bx +C, осью Ох и двумя ординатами, расстояние между которыми равно 2h, то ее площадь равна
h
S =3 (y0 + 4y1 + y2 ). ,
где у0 и у2 – крайние ординаты, а у1 – ордината кривой в середине отрезка.
Доказательство.
Расположим вспомогательную систему координат таким образом.
у
у = Ах²+Вх+С
М1
Мо
уо у1 у2
-h o h x
К
оэффициенты
в управление параболы y
= Ax²
+ Bx
+C
определяются из следующих уравнений:
если х0 = -h, то уо = Аh² - Bh + C;
если х1 = 0, то у1 = С ;
если х2 = h, то у2 = Аh² - Bh + C ;
Считая коэффициенты А, В, С известными, определим площадь параболической трапеции с помощью определенного интеграла.
h +h
S = (Ax² + Bx +C) clx = [Ax³ + Bx² + Cx] = h (2Ah² + 6C)
-h 3 2 - h 3