Числовые последовательности VI
§ 127. Числовые последовательности и способы их задания. Конечныеи бесконечные последовательности.
Рассмотрим следующие три совокупности чисел:
Естественно считать, что каждое число в любой из этих совокупностей снабжено номером в соответствии с тем местом, которое оно занимает в этой совокупности. Например, во второй совокупности число 1 имеет номер 1, число —1/2 номер 2, число1/3 номер 3 и т. д.
Наоборот, какой бы номер мы ни указали, в каждой из этих совокупностей найдется число, снабженное этим номером. Например, номер 2 в первой последовательности имеет число 2, во второй — число —1/2, в третьей — число sin 2. Аналогично номер 10 имеют: в первой последовательности — число 10, во второй — число —1/10, в третьей — число sin 10 и т. д. Таким образом, в приведенных выше совокупностях каждое число имеет вполне определенный номер и полностью определяется этим номером.
Совокупность чисел, каждое из которых снабжено своим номером п (п = 1, 2, 3, ...), называется числовой последовательностью.
Отдельные числа последовательности называются ее членами и обозначаются обычно так: первый член a1, второй a2, .... п-й член an и т. д. Вся числовая последовательность обозначается
a1, a2, a3, ... , an, ... или {an}.
Задать числовую последовательность — это знанит указать, как отыскивается тот или иной ее член, если известен номер занимаемого им места. Существует много различных способов задания числовых последовательностей. Ниже мы остановимся на некоторых из них.
1. Обычно числовая последовательность задается с помощью формулы, позволяющей по номеру члена последовательности определить этот член. Например, если известно, что при любом п
an = n2 ,
то
a1 = 1, a2 = 4, a3 = 9
и т. д. При an = sin π/2 п мы получим: a1 = sin π/2 = 1, a2 = sin π = 0, a3= sin 3π/2 = — 1,a4 = sin 2π = 0 и т. д.
Формула, позволяющая найти любой член числовой последовательности по его номеру, называется формулой общего члена числовой последовательности.
2. Бывают случаи, когда последовательность задается посредством описания ее членов. Например, говорят, что последовательность
1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; ...
составлена из приближенных значений √2 с недостатком с точностью до 0,1; 0,01; 0,001; 0,0001 и т. д. В подобных случаях иногда вообще нельзя установить формулу общего члена; тем не менее последовательность оказывается полностью определенной.
3. Иногда указывается несколько первых членов последовательности, а все остальные члены определяются этими заданными членами по тому или иному правилу. Пусть, например,
a1 = 1, a2 = 1,
а каждый последующий член определяется как сумма двух предыдущих. Другими словами, при любом п > 3
an = an — 1 + an — 2
Так определяется числовая последовательность 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, .... члены которой носят название «чисел Фибоначчи» [по имени итальянского математика Леонарда Пизанского (около 1170—1250), которого называли также Фибоначчи, что означает «сын Боначчо»].Они обладают многими интересными свойствами, рассмотрение которых, однако, выходит за пределы нашей программы.
Последовательность может содержать как конечное, так и бесконечное число членов.
Последовательность, состоящая из конечного числа членов, называется конечной, а последовательность, состоящая из бесконечного числа членов, — бесконечной последовательностью.
Например, последовательность всех четных положительных чисел 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... бесконечна, а последовательность однозначных четных положительных чисел 2, 4, 6, 8 конечна.
38
Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей.