6.2. Свойства скалярного произведения

    1. Скалярное произведение обладает переместительным свойством: ab=ba

  

20

21

Выведем формулу для вычисления угла между векторами на плоскости и в пространстве. По определению скалярного произведения двух ненулевых векторов:

 cos 

Следовательно, если   и  , то

cos   =  , т.е.

косинус угла между ненулевыми векторами  и  равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин. Если векторы заданы в прямоугольной декартовой системе координат на плоскости, то косинус угла между ними вычисляется по формуле:

 = (x₁; y₁);   = (x₂; y₂)

cos     = 

В пространстве:   = (x₁; y₁; z₁);   = (x₂; y₂; z₂)

cos     = 

Условие перпендикулярности векторов

• Векторы являются перпендикулярными тогда и только тогда, когда их скалярное произведение равно нулю.

• Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы будут перпендикулярны, если выражение x_ax_b + y_ay_b = 0.

Условие коллинеарности векторов

• Векторы коллинеарны, если абсцисса первого вектора относится к абсциссе второго так же, как ордината первого — к ординате второго.

• Даны два вектора a (xa;ya) и b (xb;yb). Эти векторы коллинеарны, если x_a =   x_b иy_a =   y_b, где  R.

22Уже есть

23уже есь

24Уже есть

25Уже есть

26

3.7. Смешанное произведение векторов

Смешанным произведением трех векторов   называется число Модуль смешанного произведения трех векторов численно равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах. П усть   правая тройка векторов (рис. 9). Действительно, объем параллелепипеда, построенного на векторах  , равен площади основания   на высоту . Здесь φ - угол между векторами  и  Знак смешанного произведения совпадает со знаком cos φ, и поэтому смешанное произведение положительно, когда тройка векторов правая, и отрицательно, если тройка векторов левая. Если перемножаемые векторы лежат в одной плоскости (cos φ = 0), то   - необходимое и достаточное условие компланарности векторов. Пусть векторы заданы своими разложениями по ортам в декартовой системе координат Из 3.6.2 известно, что Скалярно умножим этот вектор на вектор   и, учитывая свойства скалярного произведения, получим Это выражение может быть получено при вычислении определителя по элементам третьей строки, исходя из правила вычисления определителя. Поэтому смешанное произведение трех векторов обозначают как  , не подчеркивая при этом, какая пара векторов умножается векторно.

27

Общее уравнение прямой

Общее уравнение прямой линии на плоскости в декартовых координатах:

где A, B и C — произвольные постоянные, причем постоянные A и B не равны нулю одновременно. Вектор с координатами (A,B) называется нормальным вектором и он перпендикулярен прямой. Вектор с координатами (-B,A) или (B,-A) называется направляющим вектором.

При C = 0 прямая проходит через начало координат. Также уравнение можно переписать в виде :

28

Зафиксируем на графике линейной функции точкуA (x₀; y₀). Пусть B (x; y) – произвольная точка графика. Из треугольника ABC легко увидеть, что  Уравнение

y = y0 + k (x – x0)

называется уравнением прямой с заданным угловым коэффициентом, проходящей через данную точку

29

2. Уравнение прямой, проходящей через две точки: A(x₁, y₁) и B(x₂, y₂), записывается так:

     (2)

Угловой коэффициент прямой, проходящей через две данные точки, определяется по формуле

     (3)

30

Составить уравнения прямой, проходящей через данную точку M(x₀, y₀, z₀) параллельно данному вектору 

→

a

 = {l, m, n} ≠ 

→

0

 (вектор 

→

a

 называетсянаправляющим вектором прямой).

Решение. Пусть N(x, y, z) — произвольная точка пространства. Построим вектор MN = {x − x₀,  y − y₀,  z − z₀} (рис.1).

Очевидно, что точка N принадлежит прямой тогда и только тогда, когда вектор MN коллинеарен вектору 

→

a

 = {l,  m,  n} , т.е. когда их координаты пропорциональны:

x − x0 l    =    y − y0 m    =    z − z0 n

(1)

Эти уравнения называются каноническими уравнениями прямой в пространстве.

30.1 Одна или две координаты направляющего вектора прямой 

→

a

 могут быть равны нулю, это означает, что числитель соответствующей дроби тоже равен нулю.

Если в (1) ввести параметр t

x − x0 l    =    y − y0 m    =    z − z0 n    =   t,

то уравнения прямой можно записать в виде

	    	x = x0 + l·t y = y0 + m·t z = z0 + n·t

Эти уравнения называются параметрическими уравнениями прямой. Они имеют механический смысл: если параметр t рассматривать как время, а x,  y,  z — как координаты материальной точки, то параметрические уравнения описывают равномерное прямолинейное движение точки со скоростью 

→

v

 = {l,  m,  n} ,   (x₀,y₀, z₀) —начальное положение точки (при t = 0 ).

31

Угол между двумя прямыми

30 мая 2011

Буду кратким. Угол между двумя прямыми равен углу между их направляющими векторами. Таким образом, если вам удастся найти координаты направляющих векторов a = (x₁; y₁; z₁) и b = (x₂; y₂; z₂), то сможете найти угол. Точнее, косинус угла по формуле:

32

Знаю

33