16.Числовые характеристики дискретных случайных величин.

Как уже известно, закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относится математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности:

M(X)=x₁p₁+x₂p₂+…+x_np_n.

Если сл.дискр.вел-на принимает счетное мн-во возможных зн-ий, то ,

причем МО существует, если ряд в правой части рав-ва сходится абсолютно.

МО обладает следующими св-ми.

Св1. МО постоянной вел-ны равно самой постоянной: М(С)=С.

Св2. Постоянный множитель можно выносить за знак МО: М(СХ)=СМ(Х).

Св3. МО произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению МО сомножителей: M(X₁X₂…X_n)=M(X₁)∙M(X₂)…M(X_n).

Св4. МО суммы случайных величин равно сумме МО слагаемых:

M(X₁ +X₂ +…+X_n)=M(X₁)+M(X₂)+…+M(X_n).

17.Дисперсия дискретной случайной величины (ДДСВ). Вычисление ДДСВ.На практике часто требуется оценить рассеяние возможных значений случайной величины вокруг е среднего значения. Например, в артиллерии важно знать, насколько кучно лягут снаряды вблизи цели, которая должна быть поражена.На первый взгляд может показаться, что для оценки рассеяния проще всего вычислить все возможные значения отклонения случайной величины и затем найти их среднее значение. Однако такой путь ничего не даст, так как среднее значение отклонения, т.е.M[X-M(X)] , для любой случайной величины равно 0. M[X-M(X)]=M(X)-M(M(X))=M(X)-M(X) Отклонением случайной величины от ее математического ожидания называется случайная величина, определяемая как M[X-M(X)] .Эти соображения говорят о целесообразности заменить их абсолютными значениями или их квадратами. Так и поступают на деле. Правда, в случае, когда возможные отклонения заменяют их абсолютными значениями, приходится оперировать с абсолютными величинами, что приводит иногда к серьезным затруднениям. Поэтому чаще всего идут по другому пути, т.е. вычисляют среднее значение квадрата отклонения, которое и называют дисперсией.

Дисперсией D(X) (рассеиванием) дискретной величины называют мат. ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее мат. ожидания:D(X)= M([X-M(X)])²

D(X)= (по опред мат ожидания)Т.о., для того чтобы найти дисперсию, дост вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.Для вычисления дисперсии часто бывает удобно пользоваться след теоремой.Теорема. Дисперсия равна разности между мат ожиданием квадрата случайной величины X и квадратом ее мат ожидания:D(X)= M(X²)-M²(X) Док-во. Мат ожидание M(X) есть постоянная величина, и след-но 2M(X) и M²(X) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание и пользуясь св-ми мат ожидания, упростим формулу, выражающую определение дисперсии:D(X)=M(X²-2XM(X)+M²(X))=M(X²)-2M(X)M(X)+M(M²(X))=M(X²)-M²(X).

18.Свойства дисперсии ДДСВ. Дисперсия числа появлений событий в независимых испытаниях. Свойства дисперсии.1⁰.Дисперсия постоянной величины C равна нулю: D(C)=0.Док-во. По определению дисперсии, D(C)=M{[C-M(C)]²}.Пользуясь первым свойством математического ожидания, получим D(C)=M[(C-C)²]=M(0)=0.Итак, D(C)=0. Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно не имеет.2⁰. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его в квадрат: D(CX)=C²D(X). Док-во. По определению дисперсии имеем D(CX)=M{[CX-M(CX)]²}. Пользуясь вторым свойством мат.ожидания, получим D(CX)=M{[CX-CM(X)]²}= M{C²[X-M(X)]²}=C²D(X). Итак D(CX)=C²D(X).3⁰. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X+Y)=D(X)+D(Y). Док-во. По формуле для вычисления дисперсии имеем D(X+Y)=M[(X+Y)²]-[M(X+Y)]². Раскрыв скобки и пользуясь свойством математического ожидания суммы нескольких величин и произведения двух независимых случайных величин, получим D(X+Y)=M[X²+2XY+Y²]- [M(X)+M(Y)]²= M(X²)+2M(X)*M(Y)+M(Y²)-M²(X)- 2M(X)M(Y)-M²(Y)= {M(X²)-[M(X)]²}+{M(Y²)- [M(Y²)-[M(Y)]²}=D(X)+D(Y). итак D(X+Y)=D(X)+D(Y). Следствие 1. Дисперсия суммы несколько взаимно независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин. следствие 2. дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины: D(C+X)=D(X).4⁰. Дисперсия разности двух независимых случайных величин рана сумме их дисперсий: D(X-Y)=D(X)+D(Y). Док-во. в силу 3-его св-ва D(X-Y)=D(X)+ (-1)²D(Y)ю По 2-му свойству D(X-Y)=D(X)+D(Y).Теорема. Дисперсия числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события постоянна, равна произведению числа испытаний на вероятность появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npq. Док-во. Рассмотрим случайную величину X-число появлений события A в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число появлений события в этих испытаниях равно сумме появлений события в отдельных испытаниях: X=X₁+X₂+…X_n, где X_i- число наступления события в i-м испытании.величины X_i взаимно независимых, т.к. исход каждого испытания не зависит от исходов остальных, поэтому по следствию 1 D(X)=D(X₁)+D(X₂)+…D(X_n)(*). Вычислим дисперсию X₁ по формуле D(X₁)= M(X₁²)- [M(X₁)]^2(**). величина X₁-число появлений события a в 1-м испытании, поэтому M(X₁)=p. Найдем мат.ожидание величины X₁² , которое может принимать два значения, а именно: 1² с вероятностью p и 0² с вероятностью q: M(X₁²)= 1²*p+0²*q=p. подставляя найденные результаты (**) имеем D(X₁)=p-p²= (1-p)=pq. Очевидно, дисперсия каждой из остальных случайных величин также равен pq. Заменив каждое слагаемое правой части (*) через pq, окончательно получим D(X)=npq.