31. Теорема Фейєра та наслідки з неї.

Розглянемо послідовність функцій , що є середнім арифметичним часткових сум ряду Фур’є:

. Тоді

• ядро Фейєра: - середнє арифметичне ядер Діріхле.

Властивості

1)

2)

3)

Якщо позначити через

Тоді справедливо

1)

2) .

Доведення

1) Очевидно

2) Використаємо лему Рімана. Для ядра Фейєра

Теорема Фейєра

Нехай - - періодична абсолютно інтегрована на інтервалі функція.

Тоді:

1) Якщо на деякій множині Е - рівномірно- неперервна, то на Е

2) Якщо - неперервна то на R при

3)Якщо в точці х то при .

Доведення

Твердження 2) і 3) - наслідки 1), тому що функція, неперервна на будь-якому вілрізку, рівномірно неперервна на ньому. Тому досить довести твердження 1)

1) - абсолютно інтегрована , рівномірно неперервна на Е вона обмежена

- рівноміоно неперервна

Позначимо - окіл точки.

Тоді можна записати послідовність

Доведено.

Наслідок 1

(теорема Вейєрштраса про апроксимацію тригонометричними поліномами)

Якщо неперервна на цьому відрізку і , то ця функція може бути як завгодно точно рівномірно на апроксимована тригонометричними поліномами.

Наслідок 2

Якщо функція неперервна в точці х , то її ряд Фур’є або розходиться або збігається в цій точці до .

Доведення

Якщо розбігається – доводити нічого.

Якщо збігається, існує , то послідовність середніх значень цих величин теж збігається до тієї ж самої величини. Але з т.неперервності відомо, що послідовність сум Фейєра збігається до значення функції.

З теореми Фейєра в точці неперервності , що і треба було довести.

32. Зв’язок швидкості спадання коефіцієнтів ряду Фур’є з гладкістю функції

Степінь гладкості функції в точці – кількість похідних, які функція має в цій точці.

Лема( Диференціювання ряду Фур’є)

Якщо неперервна функція , можливо комплекснозначна. Має однакові значення на кінцях інтервалу, отже, її можна зробити періодичною. Кусково-неперервно-диференційована для неї виконано умови теореми Діні . Ряд Фур’є її похідної

можна отримати формальним диференціюванням ряду Фур’є самої функції , якій відповідає ряд Фур’є .

. (*)

Доведення

З теореми , що для всіх функцій ряд Фур’є існує.

Твердження

Нехай

Якщо має кусково-неперервну - ту похідну (похідні до порядку просто неперервні).

То

,

причому .

Доведення

Застосовуючи (*) m разів, отримуємо

Позначивши , отримуємо .

З нерівності Бесселя отримуємо .

Зауваження

Враховуючи, що в дійсному вигляді зв”язок між відомий,

, такі, що при

.

Теорема

Якщо f – неперервна , 2 - періодична функція , і вона має на інтервалі кусково- неперервну похідну порядку , то її ряд Фур’є збігається до f абсолютно і рівномірно на всьому періоді, причому відхилення часткових сум від f можна оцінити нерівністю .

Доведення

. f задовольняє умовам твердження .

Тоді - збігається, оскільки за нерівністю Коші-Буняковського - збігається абсолютно і рівномірно на за критерієм Вейєрштраса.

- мажоранта для . Причому ряд збігається до функції , оскільки в усіх точках інтервалу виконані умови Діні (кусково-неперервна похідна ).

Оцінка похибки