14. Теорема про правильну точку аналітичної функції.

Теорема 1

Якщо f(z) аналятична і однозначна при , то буде правильною для тоді і тільки тоді, коли обмежена в деякому околі точки .

Доведення

1) - правильна для будь-яка функція, що має границю, обмежена, тому обмежена в деякому околі точки .

2) Нехай існує такий окіл , що . Тоді з формули (2) маємо

Ряд Лорана має вигляд

, головної частини немає.

Поклавши отримаємо аналітичну в околі функцію - це правильна точка для , що й треба було довести.

Наслідок

Якщо - ізольована особлива точка функції , то необмежена в будь-якому околі , і навпаки.

необмежена – має місце два випадки:

1) точка називається полюсом функції .

2) не існує ( , існує) - називається суттєво особливою точкою.

Приклади

1) - аналітична скрізь, крім аналітична в і в , причому полюси .

2) - аналітична скрізь, крім . Покажемо, що не існує:

по вісі ОХ ( ) маємо ; ( ) . За означенням границі функції (за Гейне) границя не існує - суттєво особлива точка.

15. Полюси. Необхідна і достатня умова полюса к-го порядку.

Якщо - ізольована особлива точка функції , то необмежена в будь-якому околі , і навпаки.

необмежена – має місце два випадки:

1) точка називається полюсом функції .

2) не існує ( , існує) - називається суттєво особливою точкою.

Розглянемо окремо полюси

1) Нехай - полюс .

(наприклад). Тоді для функції виконується обмежена в околі за теоремою 1 - правильна точка для є нулем функції .

2) Навпаки – пов’язати полюс з нулем:

Нехай в деякому околі можна представити у вигляді аналітична, неперервна , в якому буде аналітичною в околі і - полюс .

Висновок: доведення теореми 2.

Означення

Кратністю, або порядком полюса функції називається кратність нуля в точці функції .

Якщо кратність дорівнює 1, точку називають простим полюсом або простим нулем.

Теорема 2

Щоб точка була полюсом функції кратності , необхідно і достатньо, щоб точка була нулем такої ж кратності для функції .

Теорема 3

Нехай , де - аналітичні функції в і мають в цій точці нулі кратності . Тоді для буде полюсом порядку при і правильною точкою при .

Доведення

- аналітичні, і

Тоді в деякому околі точки має вигляд

- аналітична, якщо , то - правильна точка, якщо - нуль порядку для , полюс порядку для .

Приклади

1) - нуль першого порядку для чисельника, 4-го порядку для знаменника для це полюс порядку 4-1=3. Точка для чисельника не є нулем, для знаменника – є нулем 4-го порядку для це полюс порядку 4.

Зауваження

Визначення порядку нуля

1) - нуль -го порядку.

2) Не можна розкласти на множники

- це нуль -го порядку для . (Ряд Тейлора , менші степені – нулі, причому .)