- •Методическое пособие для учащихся вуЗов По дисциплине: физика.
- •Оглавление
- •Колебания и волны Механические колебания Свободные колебания.
- •Гармонические колебания.
- •Незатухающие колебания
- •Частота, период, циклическая частота, амплитуда, фаза колебаний.
- •Смещение, скорость, ускорение колеблющейся системы частиц.
- •Энергия гармонических колебаний.
- •Математический маятник, физический маятник, пружинный маятник.
- •Метод векторных диаграмм. Сложение колебаний одного направления.
- •Биения. Сложение перпендикулярных колебаний. Затухающие механические колебания.
- •Уравнение затухающих колебаний. Амплитуда, частота, коэффициент затухания.
- •Логарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность колебательной системы.
- •Вынужденные колебания.
- •Явление механического резонанса.
- •Резонансная частота.
- •Резонанс.
- •Волны в упругой среде.
- •Уравнение плоской бегущей волны.
- •Отличие от уравнения колебаний.
- •Типы волн: продольные и поперечные, плоские, сферические.
- •Волновая поверхность, волновой фронт.
- •Волновое уравнение.
- •Частота, период, длина волны.
- •Свойства волн.
- •Энергия волны.
- •Поток энергии.
- •Вектор Умова.
- •Стоячие волны.
- •Интерференция.
- •Координаты пучностей и узлов стоячей волны.
- •Отличие бегущих волн от стоячих.
- •Электромагнитные волны. Гипотеза Максвелла.
- •Источники электромагнитных волн. Волновое уравнение.
- •Скорость распространения электромагнитных волн.
- •Связь со скоростью света в вакууме.
- •Свойства электромагнитных волн: поперечность, синфазность колебаний векторов напряженностей электрического и магнитного полей.
- •Энергия электромагнитных волн.
- •Вектор Пойнтинга.
- •Шкала электромагнитных волн.
- •Оптика. Геометрическая и волновая оптика.
- •Границы применимости.
- •Принцип Ферма.
- •Полное внутреннее отражение.
- •Интерференция.
- •Оптическая длина пути.
- •Расчет интерференционной картины от двух источников.
- •Координаты минимумов и максимумов интенсивности.
- •Интерференция в тонких пленках.
- •Полосы равной толщины.
- •Кольца Ньютона.
- •Применение интерференции.
- •Просветление оптики.
- •Дифракция.
- •Принцип Гюйгенса-Френеля.
- •Метод зон Френеля.
- •Дифракция Френеля.
- •Пятно Пуассона.
- •Дифракция в параллельных пучках. Дифракционная решетка.
- •Период дифракционной решетки.
- •Поляризация света.
- •Естественный и поляризованный свет.
- •Плоскость поляризации. Степень поляризации.
- •Закон Малюса.
- •Анализаторы и поляризаторы.
- •Закон Брюстера.
- •Двойное лучепреломление.
- •Интерференция поляризованного света.
- •Оптическая ось кристалла.
- •Главное сечение кристалла.
- •Оптически активные вещества.
- •Вращение плоскости поляризации.
- •Электрооптический эффект Керра.
- •Дисперсия света.
- •Нормальная и аномальная дисперсия.
- •Поглощение света веществом.
- •Закон Бугера-Ламберта.
Волновое уравнение.
Распространение волн в однородной изотропной среде в общем случае описывается волновым уравнением - дифференциальным уравнением в частных производных.
, (4) где (5)-оператор Лапласа, v - фазовая скорость.
Решением уравнения (4) является уравнение любой волны (плоской, сферической и т.д.). В частности, для анализируемой здесь плоской гармонической волны (1), которая не зависит от координат y и z волновое уравнение принимает вид . (6)
Cоответствующей подстановкой можно убедится, что уравнению (6) удовлетворяет уравнение (1).
Частота, период, длина волны.
Длина волны - это расстояние, на которое распространяется волна за один период колебаний. Так как ,то или .
Свойства волн.
Генерация волн. Волны могут генерироваться различными способами.
Генерация локализованным источником колебаний (излучателем, антенной).
Спонтанная генерация волн в объёме при возникновении гидродинамических неустойчивостей. Такую природу могут иметь, например, волны на воде при достаточно большой скорости ветра, дующего над водной гладью.
Переход волн одного типа в волны другого типа. Например, при распространении электромагнитных волн в кристаллическом твёрдом теле могут генерироваться звуковые волны.
Как правило, волны способны удалиться сколь угодно далеко от генератора колебаний. По этому причине иногда волнами называют «колебание, оторвавшееся от излучателя». Исключение составляют так называемые температурные волны, амплитуда которых экспоненциально спадает при удалении от излучателя.
Распространение. Большинство волн, по своей природе, являются не настоящими новыми физическими сущностями, а лишь условным названием для определённого вида коллективного движения. Так, если в объёме газа возникла звуковая волна, то это не значит, что в этом объёме появились какие-то новые физические объекты. Звук — это лишь название для особого скоординированного типа движения тех же самых молекул. Т.е. большинство волн — это колебания некоторой среды. Вне этой среды волны данного типа (например, звук в вакууме) не существуют.
Имеются, однако, волны, которые являются не «рябью» какой-либо иной среды, а представляют собой именно новые физические сущности. Так, электромагнитные волны в современной физике — это не колебание некоторой среды (называвшейся в XIX веке эфиром), а самостоятельное, самоподдерживающееся поле, способное распространяться в вакууме. Аналогично обстоит дело и с волнами вероятности материальных частиц.
Распространение волн — это, как правило, равномерный процесс, т.е. волны обычно распространяются с некоторой определённой скоростью (которая, конечно же, может зависеть от многих параметров).
При распространении в некоторой среде амплитуда волны может затухать, что связано с диссипативными процессами внутри среды, сквозь которую проходят волны. В случае некоторых специальным образом подготовленных метастабильных сред амплитуда волны могут, наоборот, усиливаться (пример: генерация лазерного излучения).
Взаимодействие с телами и границами раздела. Наиболее «спокойным» образом волна распространяется в однородной, однотипной среде. Если же на пути волны встречается какой-либо дефект среды, тело, или граница раздела двух сред, то это приводит к нарушению нормального распространения волны. Результат этого нарушения часто проявляется в виде следующих явлений:
отражение
преломление
рассеяние
дифракция
Разумеется, конкретный вид законов, описывающих эти процессы, зависит от типа волны.
Пространственные размеры волны. Когда говорят о пространственном размере волны, то имеют в виду размер той области пространства, где амплитуду колебания нельзя считать (в рамках рассматриваемой задачи) пренебрежимо малой. Большинство волн могут, теоретически, обладать сколь угодно большим размером, как в направлении движения, так и поперёк него. В реальности же все волны обладают конечными размерами. Продольный размер волны, как правило, определяется длительностью процесса излучения волны. Поперечный же размер определяется рядом параметров: размером излучателя, характером распространения волны (например, плоская, сферически расходящаяся волна и т.д.).
Некоторые виды волн, в частности, солитоны, являются ограниченными волнами по построению.
Волна ограниченного размера называется волновым пакетом, или цугом волн. В теории, волновой пакет описывается как сумма всевозможных плоских волн, взятых с определёнными весами. В случае нелинейных волн, форма огибающей волнового пакета эволюционирует с течением времени.
Поляризация. В каждой точке любой волны можно ввести некоторой векторное поле. Так, если волна есть колебание некоторой среды, то этим вектором будет вектор скорости частицы этой среды в данной точке; если это электромагнитная волна, то этим вектором будет электрическое поле и т.д. Направление этого вектора задаёт поляризацию волны. Если этот вектор параллелен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется вдоль направления движения), то волна называется продольной. Если вектор перпендикулярен направлению движения волны (т.е. если среда колеблется поперёк направления движения), то волна называется поперечной.
Поперечность или продольность волны определяется её природой. Так, например, плоские электромагнитные и гравитационные волны поперечны, звуковая волна в газе — продольна, а упругие волны в твёрдом теле могут быть как продольными, так и поперечными.
Фазовая когерентность. Когерентность волны означает, что в различных точках волны осцилляции происходят синхронно, т.е. разность фаз между двумя точками не зависит от времени. Отсутствие когерентности, следовательно, это ситуация, когда разность фаз между двумя точками не константа, а почти случайно «скачет» со временем (сбои фаз). Такая ситуация может иметь место, если волна была сгенерирована не единым излучателем, а совокупностью одинаковых, но независимых (т.е. нескорелированных) излучателей.
Изучение когерентности световых волн приводит к понятиям временной и пространственной когерентности. При распространении электромагнитных волн в волноводах могут иметь место фазовые сингулярности. В случае волн на воде когерентность волны определяет так называемая вторая периодичность.