Частота, период, циклическая частота, амплитуда, фаза колебаний.
ЧАСТОТА КОЛЕБАНИЙ, число колебаний в 1 с. Обозначается . Если T - период от колебаний, то = 1/T; измеряется в герцах (Гц). Угловая частота колебаний = 2 = 2/T рад/с.
ПЕРИОД колебаний, наименьший промежуток времени, через который совершающая колебания система возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент, выбранный произвольно. Период - величина, обратная частоте колебаний. Понятие "период" применимо, например, в случае гармонических колебаний, однако часто применяется и для слабо затухающих колебаний.
Круговая или циклическая частота ω
При изменении аргумента косинуса, либо синуса на 2π эти функции возвращаются к прежнему значению. Найдем промежуток времени T, в течение которого фаза гармонической функции изменяется на 2π .
ω(t + T) + α = ωt + α + 2π, или ωT = 2π.
.
Время T одного полного колебания называется периодом колебания. Частотой ν называют величину, обратную периоду
.
Единица измерения частоты - герц (Гц), 1 Гц = 1 с-1.
Так как
,
то
.
Круговая, или циклическая частоты ω в 2π раз больше частоты колебаний ν. Круговая частота - это скорость изменения фазы со временем. Действительно:
.
АМПЛИТУДА (от латинского amplitudo - величина), наибольшее отклонение от равновесного значения величины, колеблющейся по определенному, в том числе гармоническому, закону; смотри также Гармонические колебания.
ФАЗА КОЛЕБАНИЙ аргумент функции cos (ωt + φ), описывающей гармонический колебательный процесс (ω — круговая частота, t — время, φ — начальная фаза колебаний, т. е. фаза колебаний в начальный момент времени t = 0)
Смещение, скорость, ускорение колеблющейся системы частиц.
Энергия гармонических колебаний.
Гармонические колебания
Важным частным случаем периодических колебаний являются гармонические колебания, т.е. такие изменения физической величины, которые идут по закону
где
.
Из курса математики известно, что
функция вида (1) меняется в пределах от
А до -А , и что наименьший положительный
период у нее
.
Поэтому гармоническое колебание вида
(1) происходит с амплитудой А и периодом
.
Не следует путать циклическую частоту
и
частоту колебаний
.
Между ними простая связь. Так как
,
а
,
то
.
Величина
называется
фазой колебания. При t=0 фаза равна
,
потому
называют
начальной фазой.
Отметим, что при одном и том же t:
где
-
начальная фаза .Видно, что начальная
фаза для одного и того же колебания
есть величина, определенная с точнотью
до
.
Поэтому из множества возможных значений
начальной фазы выбирается обычно
значение начальной фазы наименьшее по
модулю или наименьшее положительное.
Но делать это необязательно. Например,
дано колебание
,
то его удобно записать в виде
и
работать в дальнейшем с последним видом
записи этого колебания.
Можно показать, что колебания вида:
где
и
могут
быть любого знака, с помощью простых
тригонометрических преобразований
всегда приводится к виду (1), причем
,
,
а
не
равна
,
вообще говоря. Таким образом, колебания
вида (2) являются гармоническими с
амплитудой
и
циклической частотой
.
Не приводя общего доказательства,
проиллюстрируем это на конкретном
примере.
Пусть требуется показать, что колебание
будет гармоническим и найти амплитуду
,
циклическую частоту
,
период
и
начальную фазу
.
Действительно,
-
Видим, что колебание величины S удалось
записать в виде (1). При этом
,
.
Попробуйте самостоятельно убедится, что
.
Естественно, что запись гармонических колебаний в форме (2) ничем не хуже записи в форме (1), и переходить в конкретной задаче от записи в данной форме к записи в другой форме обычно нет необходимости. Нужно только уметь сразу находить амплитуду, циклическую частоту и период, имея перед собой любую форму записи гармонического колебания.
Иногда полезно знать характер изменения
первой и второй производных по времени
от величины S, которая совершает
гармонические колебания (колеблется
по гармоническому закону). Если
,
то дифференцирование S по времени t дает
,
.
Видно, что S' и S'' колеблются тоже по
гармоническому закону с той же циклической
частотой
,
что и величина S, и амплитудами
и
,
соответственно. Приведем пример.
Пусть координата x тела, совершающего
гармонические колебания вдоль оси x,
изменяется по закону
,
где х в сантиметрах, время t в секундах.
Требуется записать закон изменения
скорости и ускорения тела и найти их
максимальные значения. Для ответа на
поставленный вопрос заметим, что первая
производная по времени от величины х
есть проекция скорости тела на ось х,
а вторая производная х есть проекция
ускорения на ось х:
,
.
Продифференцировав выражение для х по
времени, получим
,
.
Максимальные значения скорости и
ускорения :
.