Уравнение затухающих колебаний. Амплитуда, частота, коэффициент затухания.

Уравнение затухающих колебаний представим в виде где - тормозящая сила (трение), пропорциональная скорости. Решения этого уравнения ищем в виде . Подставим вид решения в уравнение - характеристическое уравнение, позволяющее найти неизвестную константу .

Если , то возникают колебания, т.е.

Решение уравнения представим в виде

Логарифмический декремент затухания, время релаксации, добротность колебательной системы.

Логарифмический декремент затухания – натуральный логарифм отношения двух амплитуд, соответствующих моментам времени, отличающихся на период.

Время релаксации – промежуток времени в течении которого амплитуда колебаний уменьшиться в e раз.

, где Ne – число колебаний, соверщённых за время, когда амплитуда колебаний уменьшается в е раз.

Добротность колебательной системы

Вынужденные колебания.

Вынужденные колебания - это колебания, происходящие под действием периодического внешнего воздействия.

Н а груз m действует внешняя сила, изменяющаяся по гармоническому закону

Получим дифференциальные уравнения:

Приведем уравнения к каноническому виду - делим на коэффициент при старшей производной и переносим все члены уравнения, содержащие неизвестную функцию, в левую часть:

Введём обозначения

.

Явление механического резонанса.

См. Резонанс

Резонансная частота.

См. Резонанс

Резонанс.

.

Таким образом, амплитуда вынужденных колебаний изменяется с изменением частоты внешнего воздействия. При определенной частоте амплитуда достигает максимума. Это явление называется резонансом, а соответствующая частота - ω_рез - резонансной. Для определения ω_рез исследуем функцию A(ω) на максимум, для этого достаточно найти минимум знаменателя у выражения A(ω) .

.

При 2β² > ω²₀ резонанс отсутствует ( ω_рез - мнимое число).

Амплитуда при резонансе получается при подстановке найденного выражения ω_рез в формулу для A(ω).

.

При β << ω₀:

.

При ω = 0 отклонение системы от положения равновесия

.

График зависимости A(ω) при различных β носят название резонансных кривых.

Волны в упругой среде.

Упругая среда-среда непрерывно распределенная в пространстве и обладающая упругими свойствами.

Волны-возмущения, распространяющиеся в среде или в вакууме и несущие с собой энергию. При распространении волны происходит перенос энергии волной без пререноса вещества, т.е. при распространении волны частицы колеблются возле своих равновесных положений, т.е. вместе с волной от частицы к частице передается колебательное состояние и его энергия.

Уравнение плоской бегущей волны.

Гармоническая бегущая волна является плоской волной, т.к. ее волновые поверхности

(ω(t- )+φ₀)=const представляет собой совокупности плоскостей, параллельных друг другу и перпендикулярных оси х.

S(0)=A₀cos(ωt+φ₀)

1).S(x)=A₀cos(ω(t-r)+φ₀)=A₀cos(ω(t- )+φ₀)-распространение волны вдоль положительного направления оси х.

(ω(t- )+φ₀)=const

dt= =0, = -фазовая скорость.

2). S(x)=A₀cos(ω(t+r)+φ₀)=A₀cos(ω(t- )+φ₀)

………………………………………………………………………………………

к= - волновое число

S(x)=A₀cos(ω(t-r)+φ₀)=A₀cos(ω(t- )+φ₀)= A0cos(ωt- )+φ₀)=A0cos(ωt- kх+φ₀)

Если имеется среда, ……………………………………, то: S(х)=A₀ cos(ωt-kх+φ₀), А-амплитуда плоскости х=0,

S(х)=A₀ cos(ωt- +φ₀), - скалярное произведение волнового вектора и радиус-вектора .