4. Достоверность и адекватность статистической модели.Коэф. Корреляции

Математические модели, полученные на основе статистических дан­ных, называются статистическими моделями. При этом данные могут быть получены экспериментальным или не экспериментальным путем. К последнему случаю относится управленческая информация, предоставляемая вышестоящим инстанциям нижестоящими подразделениям. В этом случае эвристическая и структурная идентификации выполнена заранее и описана в соответствующих инструкциях, руководящих методических материалах, стандартах и других документах. Поэтому таб­личные модели, формируемые в министерствах и ведомствах, как пра­вило, иерархичны по системе показателей. Поэтому вопрос о структурных моделях взаимозависимостей факторов в управленческой и технологической информации не возникает. Вместе с тем, гораздо труднее эвристически и структурно определены табличные модели в экономических, а тем более в экологических исследованиях. Отсутствие каких-то нормативов для составления табличных моделей приводит к различным ситуациям недостаточной полноты исходной статистической информации.

Случайность ныне признана жизненным атрибутом любого явления или процесса. Регрессии - это односторонняя стохастическая зависи­мость по прошлым данным, выраженная с помощью алгебраической функции. В регрессионном анализе исследуется форма связи, а в кор­реляционном анализе - сила стохастической связи. Дисперсионный анализ занимается определением разброса данных при одинаковом зна­чении причины. Если структура регрессионной модели подобрана (что достигается применением формул устойчивых законов), то необходи­мость в дисперсионном и корреляционном анализах отпадает. При этом сила связей определяется на основе исследования готовой статистиче­ской модели.

Статистическое моделирование - это процесс разработки моде­лей, которые отображают статистические закономерности описываемо­го объекта, явления (тенденции развития, взаимосвязи, степень воздей­ствия и т.д.). Общей специфической чертой этих моделей (в отличие от детерминированных) является учет случайных возмущений (отклоне­ний). Причем при использовании устойчивых законов необходимость в случайности самих математических формул отпадает.

Сходимость - это свойство приближаемости теоретической линии регрессии к выходным результатам объекта исследования. Критерием оценки сходимости является время поиска параметров модели, или об­щее число шагов поиска по всем сеансам. Поиск прекращается после того, как сходимость модели по значениям её параметров прекращается, что можно оценить уменьшением остатков. Если остатки после не­скольких циклов поиска начинают колебаться около одного и того же значения, то поиск прекращается. Далее по конечным остаткам оценивается адекватность модели процессу функционирования объекта исследования.

При применении метода наименьших квадратов (МНК) к оценке адекватности готовой модели к функционированию объекта исследования (а промежуточные значения показателей МНК - к оценке сходимо­сти) будем считать, что стратегия, выбирающая наиболее эффективную проверку, всегда оптимальна. Далее приведены расчетные показатели анализа адекватности выходных результатов готовой математической модели и объекта исследования.

У изучаемого показателя образуется два статистических множества числовых данных:

ŷ - фактические значения показателя, принятые по данным из­мерений из таблиц, приведенных в отчетах, книгах и полученные из других источников информации (прошлая информация, не эксперимен­тальные данные) или же полученные самим исследователем (экспери­ментальные и не экспериментальные данные);

у - расчетные значения показателя, полученные по вычислениям с использованием готового статистического уравнения (причем расчет­ные значения показателя, полученные в ходе случайного поиска значе­ний параметров модели, не учитываются).

При этом принимается допущение, что фактические значения явля­ются первичными, а расчетные (по статистической модели) значения становятся вторичными, зависящими от фактических исходных данных. Эта иерархия позволяет считать расчетные значения показателя в виде непостоянной информации, которая может быть уточнена в ходе после­дующего уточнения табличной модели, усложнения структуры стати­стической модели дополнением новыми составляющими и др.

Фактические данные предполагаются достоверными и достаточно полными для описания того или иного изучаемого явления или процес­са (проблема полноты данных до сих пор не решена в экологии и эко­номике, но она лучше обоснована в технике и технологии).

Относительно фактических статистических данных можно опреде­лить множество математических уравнений. Это происходит при суще­ствующей методологии аппроксимации. В итоге происходит простая параметрическая идентификация уравнения любой конструкции, чаще всего лишенной содержательного смысла как по элементам структуры, так и по параметрам модели. Причем, как бы изощренными ни казалось само математическое изложение, аппроксимация оперирует только ли­нейными или линеаризуемыми моделями.

Предлагаемая методология идентификации предполагает, что конструкция моделей заранее определяется, причем исходя из эвристического содержания явления или процесса, самим исследователем. Наилучшими конструкциями становятся устойчивые законы.

Относительная погрешность между этими двумя указанными множествами значений показателя принимается за меру добротности (адек­ватности фактическим значениям) готовой статистической модели. Для расчета остатков применяется формула

ε_i= ŷ_i-y_i,i=1,n

где ŷ_i выходной результат (факгические значения показателя), y_i -выходной результат математической модели (теоретические значения статистического показателя), і - номер наблюдения (произвольный или ранжированный), п - общее число наблюдений.

Каждое измерение в природоустроительных, природохозяйственных, инженерно-экологических, социально-экономических и других ис­следованиях, связанных с природными и социальными объектами ис­следования, имеет содержательный смысл, поэтому нельзя исключать из статистической выборки любое фактическое значение показателя (еще раз напомним, что принимается допущение о достоверности с той или иной вероятностью исходных статистических данных, представленных для статистического моделирования в виде табличной модели).

Абсолютная погрешность получается вычитанием расчетных зна­чений у из фактических значений показателя ŷ. Она называется также (для удобства) остатком, поэтому остаток є вычисляется по формуле

ε = ŷ -у.

Относительная погрешность D готовой статистической модели вы­числяется по соотношению

Д = 100*ε/ ŷ.

Максимальная относительная погрешность ∆max будет показывать достоверность статистической модели, описывающей количествен­ные исходные данные по одному фактору из табличной модели. Для этого значение ∆max в таблицах результатов моделирования будет под­черкиваться, а доверительная вероятность найденной статистической формулы, построенной на основе устойчивых законов и их фрагментов, будет определяться по выражению

D = 100-| ∆max |.

Коэффициент корреляции - это показатель, оценивающий тесноту ли-

нейной связи между признаками. Он может принимать значения от -1 до +1.

Знак "-" означает, что связь обратная, "+" - прямая. Чем ближе коэффициент к |1|, тем теснее линейная связь. При величине коэффициента корреляции (по

Дворецкому) менее 0,3 связь оценивается как слабая, от 0,31 до 0,5 - умеренная, от 0,51 до 0,7 - значительная, от 0,71 до 0,9 - тесная, 0,91 и выше - очень тесная. Для практических целей Дворецкий рекомендует использовать значительные, тесные и очень тесные связи.