Многозначная логика

В многозначной логике операция дизъюнкции может определяться другими способами. Чаще всего применяется схема:  , где  . Возможны и другие варианты. Как правило, стараются сохранить совместимость с булевой алгеброй для значений операндов  .

Классическая логика

В классическом исчислении высказываний свойства дизъюнкции определяются с помощью аксиом. Классическое исчисление высказываний может быть задано разными системами аксиом, и некоторые из них будут описывать свойства дизъюнкции. Один из самых распространённых вариантов включает 3 аксиомы для дизъюнкции:

С помощью этих аксиом можно доказать другие формулы, содержащие операцию дизъюнкции. Обратите внимание, что в классическом исчислении высказываний не происходит вычисления результата по значениям операндов (как в булевой алгебре), а требуется доказать формулу как единое целое на основе аксиом и правил вывода.

Схемотехника

Мнемоническое правило для дизъюнкции с любым количеством входов звучит так: На выходе будет:

• "1" тогда и только тогда, когда хотя бы на одном входе есть «1»,

• "0" тогда и только тогда, когда на всех входах «0»

Импликация

Импликация — бинарная логическая связка, по своему применению приближенная к союзам «если… то…».

Импликация записывается как посылка   следствие; применяются также стрелки другой формы и направленные в другую сторону (остриё всегда указывает на следствие).

Суждение, выражаемое импликацией, выражается также следующими способами:

• Посылка является условием, достаточным для выполнения следствия;

• Следствие является условием, необходимым для истинности посылки.

Булева логика

В булевой логике импликация — это функция двух переменных (они же — операнды операции, они же — аргументы функции). Переменные могут принимать значения из множества  . Результат также принадлежит множеству  . Вычисление результата производится по простому правилу, либо по таблице истинности. Вместо значений   может использоваться любая другая пара подходящих символов, например   или   или «ложь», «истина». Правило: Импликация как булева функция ложна лишь тогда, когда посылка истинна, а следствие ложно. Иными словами, импликация   — это сокращённая запись для выражения  . Таблицы истинности: прямая импликация (от a к b) (материальная импликация, материальный кондиционал)

если  , то истинно (1),

«Житейский» смысл импликации. Для более лёгкого понимания смысла прямой импликации и запоминания ее таблицы истинности может пригодиться житейская модель: А — начальник. Он может приказать «работай» (1) или сказать «делай что хочешь» (0). В — подчиненный. Он может работать (1) или бездельничать (0). В таком случае импликация — не что иное, как послушание подчиненного начальнику. По таблице истинности легко проверить, что послушания нет только тогда, когда начальник приказывает работать, а подчиненный бездельничает.

обратная импликация (от b к a)

если  , то истинно (1), обратная импликация — отрицание (негация, инверсия) обнаружения увеличения (перехода от 0 к 1, инкремента),

отрицание (инверсия, негация) обратной импликации, разряд займа в двоичном полувычитателе,