- •История логики
- •Предыстория логики
- •Логика в древнегреческой философии До Платона
- •Логика Платона
- •Логика Аристотеля
- •Логика стоиков
- •Логика в странах Востока Логика в Индии
- •Логика в Китае
- •Современная логика
- •Логика высказываний
- •]Основные понятия
- •Правила построения формул логики высказываний
- •Соглашения о скобках
- •Истинностное значение
- •Тождественно истинные формулы (тавтологии)
- •Исчисление высказываний
- •Логическая операция
- •Формальная логика
- •Математическая логика
- •Отрицание
- •Схемотехника
- •Конъюнкция
- •Булева алгебра
- •Многозначная логика
- •Классическая логика
- •Схемотехника
- •Дизъюнкция
- •Булева алгебра
- •Многозначная логика
- •Классическая логика
- •Схемотехника
- •Импликация
- •Булева логика
- •Классическая логика
- •Штрих Шеффера
- •Стрелка Пирса
- •Полином Жегалкина
- •Предпосылки
- •Cуществование и единственность представления (теорема Жегалкина)
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина с помощью эквивалентных преобразований днф
- •С помощью эквивалентных преобразований сднф
- •Логика высказываний
- •Основные понятия
- •Правила построения формул логики высказываний
- •Соглашения о скобках
- •Истинностное значение
- •Тождественно истинные формулы (тавтологии)
- •Исчисление высказываний
- •Алгебра логики
- •Определение
- •Аксиомы
- •Логические операции
- •Свойства логических операций
- •История
- •Метод равносильных преобразований
- •Метод диаграмм Вейча.
- •Алгоритм построения таблицы истинности
- •Элементарная дизъюнкция
- •Элементарная конъюнкция
- •§ 1. Понятие формулы исчисления высказываний.
- •Исчисление высказываний
- •1.2.3.1 Правила подстановки
- •1.2.3.2. Правила введения и удаления логических связок
- •2.1 Алгебра предикатов
- •3 Законы алгебры предикатов
- •Квантор
- •Примеры
- •Введение в понятие
- •Кванторы в математической логике
- •Вложенные кванторы Свободные и связанные переменные
- •Операции над кванторами
- •Ограниченные кванторы История появления
- •Теория алгоритмов
- •Возникновение теории алгоритмов
- •Модели вычислений
- •Тезис Чёрча — Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы
- •Современное состояние теории алгоритмов
- •Анализ трудоёмкости алгоритмов
- •Классы сложности
- •Машина Тьюринга
- •Устройство машины Тьюринга
- •Описание машины Тьюринга
- •Пример машины Тьюринга
- •Полнота по Тьюрингу
- •Варианты машины Тьюринга
- •Машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте
Истинностное значение
Оценкой пропозициональных переменных называется функция из множества всех пропозициональных переменных в множество {0, 1} (т.е. множество истинностных значений). Основной задачей логики высказываний является установление истинностного значения формулы, если дана оценка (т.е. определены истинностные значения входящих в неё переменных). Истинностное значение формулы в таком случае определяется индуктивно (с шагами, которые использовались при построении формулы) с использованием таблиц истинности связок.
Оценка отрицания задаётся таблицей:
|
|
|
|
|
|
Значение двуместных логических связок (импликация), (дизъюнкция) и (конъюнкция) определяются так:
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
Тождественно истинные формулы (тавтологии)
Формула является тождественно истинной, если она истинна при любых значениях входящих в неё переменных. Вот несколько широко известных примеров тождественно истинных формул логики высказываний:
Законы де Моргана:
1) ;
2) ;
Закон контрапозиции:
;
Законы поглощения:
1) ;
2) ;
Законы дистрибутивности:
1) ;
2) .
Исчисление высказываний
Одним из возможных вариантов (Гильбертовской) аксиоматизации логики высказываний является следующая система аксиом:
;
;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
вместе с единственным правилом:
(Modus ponens)
Теорема корректности исчисления высказываний утверждает, что все перечисленные выше аксиомы являются тавтологиями, а с помощью правила modus ponens из истинных высказываний можно получить только истинные. Доказательство этой теоремы тривиально и сводится к непосредственной проверке. Куда более интересен тот факт, что все остальные тавтологии можно получить из аксиом с помощью правила вывода — это так называемая теорема полноты логики высказываний.
3
Логическая операция
В логике логическими операциями называют действия, вследствие которых порождаются новые понятия, возможно с использованием уже существующих. В более узком, формализованном смысле, понятие логической операции используется в математической логике и программировании.
Формальная логика
Логические операции с понятиями — такие мыслительные действия, результатом которых является изменение содержания или объёма понятий, а также образование новых понятий.
К операциям, которые связаны преимущественно с изменением содержания понятий, относятся:
отрицание;
ограничение ;
обобщение ;
деление.
К операциям, которые связаны преимущественно с объёмами понятий, относятся:
сложение;
умножение;
вычитание.
Данные операции могут быть записаны математически с помощью теории множеств.
Переход же к математической логике связан с понятием суждений и установлением операций над ними с целью получения сложных суждений.