- •История логики
- •Предыстория логики
- •Логика в древнегреческой философии До Платона
- •Логика Платона
- •Логика Аристотеля
- •Логика стоиков
- •Логика в странах Востока Логика в Индии
- •Логика в Китае
- •Современная логика
- •Логика высказываний
- •]Основные понятия
- •Правила построения формул логики высказываний
- •Соглашения о скобках
- •Истинностное значение
- •Тождественно истинные формулы (тавтологии)
- •Исчисление высказываний
- •Логическая операция
- •Формальная логика
- •Математическая логика
- •Отрицание
- •Схемотехника
- •Конъюнкция
- •Булева алгебра
- •Многозначная логика
- •Классическая логика
- •Схемотехника
- •Дизъюнкция
- •Булева алгебра
- •Многозначная логика
- •Классическая логика
- •Схемотехника
- •Импликация
- •Булева логика
- •Классическая логика
- •Штрих Шеффера
- •Стрелка Пирса
- •Полином Жегалкина
- •Предпосылки
- •Cуществование и единственность представления (теорема Жегалкина)
- •Представление функции в виде полинома Жегалкина с помощью эквивалентных преобразований днф
- •С помощью эквивалентных преобразований сднф
- •Логика высказываний
- •Основные понятия
- •Правила построения формул логики высказываний
- •Соглашения о скобках
- •Истинностное значение
- •Тождественно истинные формулы (тавтологии)
- •Исчисление высказываний
- •Алгебра логики
- •Определение
- •Аксиомы
- •Логические операции
- •Свойства логических операций
- •История
- •Метод равносильных преобразований
- •Метод диаграмм Вейча.
- •Алгоритм построения таблицы истинности
- •Элементарная дизъюнкция
- •Элементарная конъюнкция
- •§ 1. Понятие формулы исчисления высказываний.
- •Исчисление высказываний
- •1.2.3.1 Правила подстановки
- •1.2.3.2. Правила введения и удаления логических связок
- •2.1 Алгебра предикатов
- •3 Законы алгебры предикатов
- •Квантор
- •Примеры
- •Введение в понятие
- •Кванторы в математической логике
- •Вложенные кванторы Свободные и связанные переменные
- •Операции над кванторами
- •Ограниченные кванторы История появления
- •Теория алгоритмов
- •Возникновение теории алгоритмов
- •Модели вычислений
- •Тезис Чёрча — Тьюринга и алгоритмически неразрешимые проблемы
- •Современное состояние теории алгоритмов
- •Анализ трудоёмкости алгоритмов
- •Классы сложности
- •Машина Тьюринга
- •Устройство машины Тьюринга
- •Описание машины Тьюринга
- •Пример машины Тьюринга
- •Полнота по Тьюрингу
- •Варианты машины Тьюринга
- •Машина Тьюринга, работающая на полубесконечной ленте
Исчисление высказываний
Аксиомы
I
1. . 2. .
II
1. . 2. . 3. .
III
1. . 2. . 3. .
IV
1. . 2. . 3. .
Правила вывода
( - знак выводимости)
Правило подстановки
где - формула, полученная из p путем подстановки формулы q вместо переменной x.
Правило заключения
Некоторые выводимые формулы
1. . 2. . 3. .
(s в формулах 1, 2 - произвольная выводимая формула.)
4. .
5. .
6. .
7. .
8. .
16, 17
Правила вывода
Выводом формулы В из множества формул F1; F2; . . . Fn называется такая последовательность формул, что любая Fi есть либо аксиома, либо непосредственно выводима из подмножества предшествующих ей формул F1; F2; . . . Fn.
В этом случае формулу B называют заключением, а последовательность формул F1; F2; . . . Fn, сформированная отношением логического вывода, представляет схему дедуктивного вывода.
Схему дедуктивного вывода записывают так:
F1; F2; . . . Fn B,
где символ означает “верно, что B выводима из F1; F2;... Fn“.
Есть определенная связь между отношением логического вывода в схеме дедукивного вывода и импликацией в схеме закона алгебры высказываний .
Этот факт записывают так:
F1F2. . . FnB.
Известна другая форма записи дедуктивного вывода формулы В:
F 1; F2; . . . Fn
B,
где над чертой записывают множество посылок и аксиом F1; F2;...Fn, а под чертой заключение В, принимающее значение “истины” при истинности всех посылок.
1.2.3.1 Правила подстановки
Если выводимая формула F содержит некоторую переменную A (обозначим этот факт F(A)) и существует произвольная формула B, то формула F(B), получающаяся заменой всех вхождений A на формулу B, также выводима в исчислении высказываний. Этот факт формально описывают так:
Этот факт записывают так:
АВF(А)
F(В).
Если F(A)=A, то АВА
В.
Если F (A), то АВF(А)
F(В).
Следует еще раз обратить внимание, что формула F должна быть выводимой в исчислении высказываний.
Пример: Пусть даны формулы F=ACA и B=CA.
Если выполнить подстановку формулы B в формулу F вместо формулы A, то получим новую формулу F`.
А CA (ACA)
(CA)C(CA).
-
Проверим значения двух формул F и F’по таблицам истинности.
Выделенные столбцы показывают тождество двух формул.
B
C
13
41
31
63
76
1
2
3
4
5
6
7
8
л
л
л
л
и
и
л
и
л
л
и
л
и
и
и
и
л
и
л
л
и
и
л
и
л
и
и
л
и
и
и
и
и
л
л
л
и
и
л
и
и
л
и
и
и
л
л
и
и
и
л
л
и
и
л
и
и
и
и
и
и
л
л
и