Классическая логика
В классическом исчислении высказываний свойства импликации определяются с помощью аксиом.
Можно
доказать эквивалентность
импликации A → B формуле 
(с
первого взгляда более очевидна её
эквивалентность формуле 
,
которая принимает значение «ложь» в
случае, если выполняется A (посылка), но
не выполняется B (следствие)).
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ ЛОГИЧЕКИХ ОПЕРАЦИЙ!
Сначало НЕ, КОНЪЮНКЦИЯ(И), ДИЗЪЮНКЦИЯ(ИЛИ), ИМПЛИКАЦИЯ
4
Штрих Шеффера
Штрих Ше́ффера — бинарная логическая операция, булева функция над двумя переменными.
Таблица значений
X |
Y |
X|Y |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
Как и любую булеву операцию, штрих Шеффера можно выразить через отрицание и дизъюнкцию:
либо через отрицание и конъюнкцию
Штрих Шеффера образует базис для пространства булевых функций от двух переменных. То есть используя только штрих Шеффера можно построить остальные операции. Например,
— отрицание
— дизъюнкция
— конъюнкция
Это позволяет в системе транзисторно-транзисторной логики реализовать всю необходимую логику с использованием единственного типового элемента. Примером может являться промышленная 155 серия. С другой стороны, использование других типовых элементов позволит уменьшить их общее количество и тем самым повысить надёжность схемы.
Элемент, реализующий штрих Шеффера обозначается следующим образом:
В России принято другое обозначение:
Стрелка Пирса
Стре́лка Пи́рса (символ Лукасевича) — бинарная логическая операция, введена в рассмотрение Ч. Пирсом (Сh. Peirce). Стрелка Пирса, обычно обозначаемая ↓, задаётся следующей таблицей истинности:
A |
B |
A ↓ B |
0 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
Таким образом, высказывание «A ↓ B» означает «ни A, ни B». Стрелка Пирса обладает тем свойством, что через неё одну выражаются все другие логические операции:
¬x ≡ x↓x
x & y ≡ (x↓x) ↓ (y↓y)
x ∨ y ≡ (x↓y) ↓ (x↓y)
x → y ≡ ((x↓x) ↓ y) ↓ ((x↓x) ↓ y)
От перемены мест операндов результат операции не изменяется.
В логических схемах носит название "операция ИЛИ-НЕ", комбинация которых позволяет заменить любой элемент схемы.
Полином Жегалкина
Полином Жегалкина — полином(многочлен) над Z2, то есть полином с коэффициентами вида 0 и 1, где в качестве произведения берется конъюнкция, а в качестве сложения исключающее или. Полином был предложен в 1927 году И. И. Жегалкиным в качестве удобного средства для представления функций булевой логики.
Полином Жегалкина представляет собой сумму по модулю два (операция Исключающее ИЛИ) произведений неинвертированных переменных, а также (если необходимо) константы 1. Формально полином Жегалкина можно представить в виде
или в более формалиизованном виде как
Примеры полиномов Жегалкина:
