38. Понятие о нормальных формах колебаний [5].

НОРМАЛЬНЫЕ КОЛЕБАНИЯ (нормальные моды) - собственные (свободные) гармонич. колебания линейных динамич. систем с пост. параметрами, в к-рых отсутствуют как потери, так и приток извне колебат. энергии. Каждое Н. к. характеризуется определ. значением частоты, с к-рой осциллируют все элементы системы, и формой - нормиров. распределением амплитуд и фаз по элементам системы. Линейно независимые Н. к., отличающиеся формой, но имеющие одну и ту же частоту, наз. вырожденными. Частоты Н. к. наз. собственными частотами системы.

40. Любая система автоматического управления (САУ) приводов станков представляет совокупность чувствительных, усилительно -углообразовательных и исполнительных элементов, взаимодействующих между собой. Для математического описания работы системы автоматического управления удобно ее разбивать на элементы и динамические звенья (ДЗ), которые описываются ДУ определенного вида.

Зависимость выходного сигнала от входного в установившемся режиме работы называется статической характеристикой, которая может быть получена экспериментально. Для этого на вход элемента или ДЗ подается входной сигнал х(t) = х_i, где i=1,…,n. Выждав необходимое время для затухания переходного процесса, измеряют значение выходного сигнала =у_i и получают точку статической характеристики (x_i, у_i). Повторив эти измерения для разных значений х_i и соединив эти точки плавной кривой, получают статическую характеристику элемента в установившемся режиме. Однако система управления обычно работает в неустановившемся режимах, поэтому изучение поведения динамических элементов в приходных процессах является важной задачей.

Теоретическое исследование динамических элементов и ДЗ проводится на основании ДУ, описывающих поведение этих элементов в виде:

. (1)

В этом уравнении неизвестной функцией является у(t). Для решения этого уравнения необходимо задать величины x(t) как функция времени и начальные условия у(о), (о),…,у^n-1(0).

Пологая в этом уравнении x(t)= const, y(t)=const, получим уравнение статической характеристики звена

F(y,x)=0. (2)

Если функция F – нелинейна, то динамический элемент также будет нелинейным. Для упрощения решения нелинейного ДУ его линеаризуют, т.е. заменяют некоторым приближенным линейным уравнением, решение которого достаточно близко к нелинейному уравнению. Простейший способ линеаризации базируемый на размещении нелинейной функции F в ряд Тейлора с последующим отбрасыванием нелинейных членов разложения.

Линеаризация нелинейного уровня обычно производится относительно которого заранее выбранного режима работы элемента. Чаще всего это установившийся режим работы, который характеризуется постоянством входного и выходного сигналов x(t)=х₀, у(t)= у₀. При этом, в случае линеаризации полагают, что переменные имеют достаточно малые отклонения ∆x(t) и ∆у(t) от установившегося режима работы.

Раскладывая нелинейную функцию F в ряд Тейлора с отклонением ∆х, ∆у в окрестности точки х₀, у₀ и отбрасывая нелинейные члены разложения получим:

Учитывая, что х₀,у₀ принадлежат статической характеристике и удовлетворяют уравнению (2), полученное уравнение в виде без учета F(х_0,у₀):

Вводя обозначения:

; .

Уравнение (4) преобразуется к виду

Представив частицы производные в виде линейных дифференциальных операторов:

A(p)= ;

B(p)= ,

г

(6)

(7)

де p= - символ дифференцирования, уравнение (5) приймет вид:

A(p) .

Опуская символ приращения , с целого упрощения записи, ф. (6) принимаем в виде:

A(p) .

Линеаризованные ДУ динамических элементов можно записывать и в относительных переменных, как отношения их приращений к самим переменным (∆y(t)=Ψ(t)y₀)

Ψ(t)= ; ; (∆x(t)=φ(t)x₀).

Т

(8)

огда линеаризованное уравнение (6) в относительных переменных будет:

A(p) .

Для точки установившегося движения х₀, у₀ относительные переменные Ψ(t), равны нулю. Дифференциальные уравнения по ф. (7) характеризуют динамические свойства элемента или звена и позволяют определить их реакцию y(t) на любые входные сигналы x(t).

К

(9)

роме ДУ для описания динамических свойств элементов систем автоматического управления используют передаточные функции, которые отличаются наглядностью по сравнению с ДУ. Передаточная функция элемента или ДЗ – это отношение преобразования Лапласа выходного сигнала y(t) к преобразованию Лапласа входного сигнала x(t). Преобразуем уравнение (7) посредством преобразования Лапласа:

A(S)Y(S)=B(S)X(S).

где Y(s), X(s) - преобразования по Лапласу (изображения) выходного и входного сигналов, определяемых соотношениями:

(10)

,

где S=α+jω – комплексная переменная; x(t), y(t) – оригиналы; X(S), Y(S) – изображения входного и выходного сигналов по Лапласу.

Согласно определению передаточной функции:

W(S)= ,

где B(S), A(S) - характеристические многочлены, а A(S) =0 – характеристическое уравнение.

41.

43.