10. Уравнение прямой, проходящей через две точки

Пусть в пространстве заданы две точки M₁(x₁, y₁, z₁) и M₂(x_2, y₂, z₂), тогда уравнение прямой, проходящей через эти точки:                                                

            Если какой- либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.

            На плоскости записанное выше уравнение прямой упрощается:

если х₁ ¹ х₂  и х = х₁, еслих₁ = х₂.

Дробь = k называется угловым коэффициентом прямой.

11. Вектор на плоскости, координаты вектора, длина вектора. Операции над векторами. Орт вектора. Условие параллельности векторов

Вектором называется направленный отрезок, то есть отрезок, у которого указаны начало (наз. также точкой приложения вектора) и ко­нец. Пусть на плоскости задана декартова система координат XOY.

Тогда вектор может быть задан двумя числами: и

Эти числа и в геометрии называют координатами вектора, а в физике – проекциями вектора на соответствующие оси координат. При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями: и

Пусть на плоскости задана декартова система координат при помощи единичных векторов и :

Тогда вектор может быть задан следующим образом:

Очевидно, что:

и

При таком определении вектора его модуль , а направление задается углом , который однозначно определяется соотношениями: и

Суммой векторов и называют вектор , идущий из начала вектора в конец век­тора при условии, что начало вектора приложено к концу вектора . Координаты вектора суммы двух векторов удовлетворяют соотношениям: и

Вектор суммы двух векторов:

Произве­дением  вектора на число  называют вектор, коллинеарный вектору , имею­щий длину, равную , и направле­ние, совпадающее с направлением при > 0 и противоположное при < 0.

Координаты вектора произведения вектора на число удовлетворяют соотношениям:

Произведение вектора на число:

Операции сложения векторов и умножения вектора на число обладают след. свойствами:

1) ,

2) ,

3) ,

4) ,

5) ,

6) ,

7) ,

8) .

12. Скалярное произведение векторов, условие перпендикулярности

Скаля́рное произведе́ние — операция над двумя векторами, результатом которой является скаляр (число), не зависящее от системы координат и характеризующее длины векторов-сомножителей и угол между ними. Эта операция обычно рассматривается как коммутативная и линейная по каждому сомножителю.

Скалярным произведением в линейном пространстве называется функция , принимающая числовые значения, определенная для каждой пары элементов и удовлетворяющая следующим условиям:

1. для любых трех элементов и пространства и любых чисел справедливо равенство [линейность скалярного произведения по первому аргументу];

2. для любых и справедливо равенство ,где черта означает комплексное сопряжение [эрмитова симметричность];

3. для любого имеем , причем только при [положительная определенность скалярного произведения].

Действительное линейное пространство со скалярным произведением называется евклидовым, комплексное — унитарным.

Элементарное определение скалярного произведения используется, когда определения длины вектора и угла между векторами введены независимым образом до введения понятия скалярного произведения (как правило, так и поступают при изложении элементарной геометрии). В этом случае скалярное произведение определяется через длины сомножителей и угол между ними:

Ортогональными (перпендикулярными) называются векторы, скалярное произведение которых равно нулю. Это определение применимо к любым пространствам с положительно определённым скалярным произведением. Например, ортогональные многочлены на самом деле ортогональны (в смысле этого определения) друг другу в некотором гильбертовом пространстве.