26. Бесконечно большая функция, последовательность, величина

Бесконечно большая (величина) — числовая функция или последовательность, которая стремится к бесконечности определённого знака.

Последовательность an называется бесконечно большой, если .

Функция называется бесконечно большой в окрестности точки x0, если .

Функция называется бесконечно большой на бесконечности, если либо .

27. Теоремы об арифметических операциях над пределами

Для нахождения пределов на практике пользуются следующими теоремами.

Теорема 1 . Если существуют пределы  

                                               

                                                          

                                                   

Замечание . Выражения вида 0/0, ¥ / ¥ , 0 × ¥ , ¥ - ¥ являются неопределенными, например, отношение двух бесконечно малых или бесконечно больших величин, и нахождение пределов такого вида носит название “раскрытие неопределенностей”.

Теорема 2.

                                                                                   (6.7)

т.е. можно переходить к пределу в основании степени при постоянном показателе, в частности, ;

                                                               

                                                        (6.8)

                                                                 

                                                   (6.9)

Теорема 3.     

                                                                                                 

                                                                                  (6.10)

                                                                                         

                                                                               (6.11)

где e » 2.7 - основание натурального логарифма. Формулы (6.10) и (6.11) носят название первого и второго замечательного пределов.

28. Сравнение бесконечно малых величин. Понятие главной части. Сравнение скорости роста степенной, показательной и логарифмической функций.

Отношение бесконечно малых величин образует так называемую неопределённость .

Допустим, у нас есть бесконечно малые при одном и том же величины α(x) и β(x) (либо, что не важно для определения, бесконечно малые последовательности).

Если , то β — бесконечно малая высшего порядка малости, чем α. Обозначают β = o(α).

Если , то β — бесконечно малая низшего порядка малости, чем α. Соответственно α = o(β).

Если (предел конечен и не равен 0), то α и β являются бесконечно малыми величинами одного порядка малости. Это обозначается как β = O(α) или α = O(β) (в силу симметричности данного отношения).

Если (предел конечен и не равен 0), то бесконечно малая величина β имеет m-й порядок малости относительно бесконечно малой α.

Для вычисления подобных пределов удобно использовать правило Лопиталя.

Примеры сравнения

При величина x5 имеет высший порядок малости относительно x3, так как С другой стороны, x3 имеет низший порядок малости относительно x5, так как

С использованием О-символики полученные результаты могут быть записаны в следующем виде x5 = o(x3).

то есть при функции f(x) = 2x2 + 6x и g(x) = x являются бесконечно малыми величинами одного порядка.

В данном случае справедливы записи 2x2 + 6x = O(x) и x = O(2x2 + 6x).

При бесконечно малая величина 2x3 имеет третий порядок малости относительно x, поскольку бесконечно малая 0,7x2 — второй порядок, бесконечно малая  — порядок 0,5.

Если , то бесконечно малые величины α и β называются эквивалентными ( ). Очевидно, что эквивалентные величины являются частным случаем бесконечно малых величин одного порядка малости.

При справедливы следующие соотношения эквивалентности (как следствия из т. н. замечательных пределов):

;

;

;

.

Предел частного (отношения) двух бесконечно малых величин не изменится, если одну из них (или обе) заменить эквивалентной величиной.