Математический маятник

Математи́ческий ма́ятник — осциллятор, представляющий собой механическую систему, состоящую из материальной точки, находящейся на невесомой нерастяжимой нити или на невесомом стержне в однородном поле сил тяготения. Период малых собственных колебанийматематического маятника длины l неподвижно подвешенного в однородном поле тяжести сускорением свободного падения g равен

и не зависит^[1] от амплитуды и массы маятника.

Плоский математический маятник со стержнем — система с одной степенью свободы. Если же стержень заменить на растяжимую нить, то это система с двумя степенями свободы со связью. Пример школьной задачи, в которой важен переход от одной к двум степеням свободы.

При малых колебаниях физический маятник колеблется так же, как математический сприведённой длиной.

Физический маятник(приведенная длина, точка качения и их св-ва, вывод формулы периода).

Физический маятник—осциллятор, представляющий собой твёрдое тело, совершающее колебания в поле каких-либо сил относительно точки, не являющейся центром масс этого тела, или неподвижной оси, перпендикулярной направлению действия сил и не проходящей через центр масс этого тела.

Физический маятник

Период колебаний физического маятника выражается по следующей формуле:

Приведённая длина — это условная характеристика физического маятника. Она численно равна длине математического маятника, период которого равен периоду данного физического маятника.

[Править]Вычисление

Приведённая длина вычисляется следующим образом: где I — момент инерции относительно точки подвеса, m — масса, a — расстояние от точки подвеса до центра масс.

Центр качания — точка, в которой надо сосредоточить всю массу физического маятника, чтобы его период колебаний не изменился.

Поместим на луче, проходящем от точки подвеса через центр тяжести точку на расстоянии   от точки подвеса. Эта точка и будет центром качания маятника.

Действительно, если всю массу сосредоточить в центре качания, то центр качания будет совпадать с центром масс. Тогда момент инерции относительно оси подвеса будет равен  , а момент силы тяжести относительно той же оси  . Легко заметить, что уравнение движения не изменится.

Вывод формулы:

Для того, чтобы найти период колебаний физического маятника, необходимо решить уравнение качания. Для этого умножим левую часть этого уравнения на  , а правую часть на  . Тогда:

.

Интегрируя это уравнение, получаем.

,

где   произвольная постоянная. Её можно найти из граничного условия, что в моменты  . Получаем:  . Подставляем и преобразовываем получившееся уравнение:

.

Отделяем переменные и интегрируем это уравнение:

.

Удобно сделать замену переменной, полагая  . Тогда искомое уравнение принимает вид:

.

Здесь   — нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода. Для периода колебаний получаем формулу:

.

Здесь   — полный нормальный эллиптический интеграл Лежандра 1-го рода.

-Период малых колебаний физического маятника

Если амплитуда колебаний   мала, то корень в знаменателе эллиптического интеграла приближенно равен единице. Такой интеграл легко берется, и получается хорошо известная формула малых колебаний:

.