14. Структурные характеристики распределения. Квантили распределения. Мода.

К структурным характеристикам распределения отсносят: квантили распределения, т.е. медиану, квартили, децили, моду и другие.Квантили распределения представляют собой обоб. Показатели, характеризующие структуру признака в совокупности.

Виды: 1)медиана M_e –значение признака, приход. На середину упорядоченной совокупности;

2)квартили Q_1/4 , Q_1/2 , Me, Q_3/4 –значение признака, делящее совокупность на 4 разные части; 3) децили Q_0,1, Q_0,2 , …, Q_0,9- значение признака, делящее упоряд. сов-ть на 10 равных частей; 4) перцентили Q_0,01 , Q_0,02 , …, Q_0,09- значение признака, делящее упоряд. сов-ть на 100 равных частей.

Наиболее распространенной является медиана. При определении медианы по дискретному ряду рассчитывают накопленные частоты. Медианным вариантом будет 1-ый вариант, накопленная частота которого превышает порядковый номер медианы, рассчитываемый по формуле: Если N – четное число, то получаем дробное значение порядкового номера, это означает, что медиана расположена между меньшим и большим целыми значениями соответствующих порядковых номеров и определяется как среднее ариф. значение признаков этих номеров. Значение Медины внутри интервала определяется по формуле:

Определение медианы не требует знаний всех индивид. значений признака, она не чувствительна к крайним значениямпризнака, поэтому медиану использ. Как надежный показатель в неоднородной сов-ти. Медиана находит практическое применение вследствие особого матем. св-ва : сумма абсолют. отклонений индивид. значений признаков от медианы-есть величина наименьшая. .

Опрделение значений прочих квантилей аналогично определению медианы. Если данные сгруппированы, то значения квантиля определяется по накопленной частоте. При этом № группы, кот. содержит i – квантиль определяется как номер первой от начала ряда группы, в которой накопленная частота превышает эту величину. i(N+1), i-индекс квантиля.

Если ряд интервальный, то значение квантиля уточняют по след. формуле:

Квантили можно опредлить графически по кумуляте распределения.

Мода(М₀)- наиболее частовстречающееся значение в совокупности. Для дискретного ряда мода-это значение признака, которому соответств. частота или частность. Для интервального ряда мода-это значение признака, которое соответ. наиб. плотность распределения.

Есои ряд равноинтервальный, то значение моды можно определить по частотам или частностям. Их соотношение будет таким же, как и у плотности распределения. Кроме того значение моды в случае равноинтерв. ряда распределения можно определить по формуле:

16. Теорема о разложении дисперсии при группировании

Допустим при группировке совокупности по некоторому признаку Y (осуществленной каким угодно способом) было образовано К групп. Тео­рема о разложении дисперсии говорит, что общая дисперсия Y (по сово­купности в целом) может быть разложена на две составные части: 1) межгрупповую и 2) среднюю из внутригрупповых дисперсии, а именно:

.

Средняя из внутригрупповых дисперсий характеризует остаточ­ную вариацию, не связанную с группированием. Вычисляется она как средняя из внутригрупповых дисперсий ( ):

где - дисперсия признака-результата в пределах отдельной груп­пы по признаку-фактору;

- численность отдельной группы.

Чем больше межгрупповая дисперсия , тем лучше проведена группировка (выделенные при группировке группы сильнее различаются между собой). Поэтому межгрупповая дисперсия является критерием группирования. Несколько группировок (с одинаковым числом групп!) мо­гут быть сравнимы между собой по величине . Лучшей будет та груп­пировка, у которой величина больше.