- •Тест №3
- •Тест №4
- •Тест №5
- •Тест №6
- •Тест №7
- •Тест №8
- •Тест №9
- •Тест №10
- •Тест №11
- •Тест №12
- •Тест №13
- •Тест №14
- •Тест №15
- •Тест №16
- •Тест №17
- •Тест №18
- •Тест №19
- •Тест №20
- •Тест №21
- •Тест №22
- •Тест №23
- •Тест №24
- •Тест №25
- •Тест №26
- •Тест №27
- •Тест №28
- •Тест №29
- •Тест №30
- •Тест №31
- •Тест №32
- •Тест №33
- •Тест №34
- •Тест №35
- •Тест №36
- •Тест №37
- •Тест №38
- •Тест №39
- •Тест №40
- •Тест №41
- •Тест №42
- •Тест №43
- •Тест №44
- •Тест №45
- •Тест №46
- •Тест №47
ТЕСТ №1 ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Общее уравнение прямой, проходящей через точку параллельно прямой имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой задается как . Подставляя в это уравнение координаты точки , найдем значение : . Отсюда . Тогда уравнение искомой прямой имеет вид .
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Даны точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид . В качестве вектора возьмем вектор . Тогда уравнение плоскости примет вид или .
ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Уравнение в пространстве определяет …
|
|
|
параболоид |
|
|
|
эллипсоид |
|
|
|
однополостный гиперболоид |
|
|
|
цилиндр |
Решение: Уравнение вида в пространстве определяет параболоид.
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке Тема: Полярные координаты на плоскости Точка задана в полярной системе координат. Тогда ее прямоугольные координаты равны …
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Умножение матриц Даны матрицы и Тогда матрица имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке Тема: Вычисление определителей Определитель равен …
|
|
|
– 11 |
|
|
|
– 1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
1 |
Решение: Определитель второго порядка вычисляется по формуле: . Тогда
ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке Тема: Линейные операции над матрицами Дана матрица Если где – единичная матрица того же размера, что и матрица , то матрица равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число. При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. Тогда:
ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке Тема: Обратная матрица Дана матрицы . Тогда матрица равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Транспонируем данную матрицу Обратная матрица имеет вид Вычислим Тогда
ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен двум, если …
|
|
|
минор второго порядка не равен нулю |
|
|
|
значения и равны нулю |
|
|
|
все миноры первого порядка равны нулю |
|
|
|
определитель матрицы равен двум |
Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений имеет единственное решение, если не равно …
|
|
|
10 |
|
|
|
– 10 |
|
|
|
2,5 |
|
|
|
– 2,5 |
Решение: Система линейных уравнений имеет единственное решение, если определитель матрицы системы не равен нулю. Вычислим Тогда
ТЕСТ №2
ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение сферы с центром в точке и радиусом имеет вид То есть
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Прямая проходит через точки и . Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки и имеет вид . То есть , , или .
ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке Тема: Полярные координаты на плоскости Точка задана в прямоугольной системе координат. Тогда ее полярные координаты равны …
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
|
|
|
, |
Решение: Полярные координаты точки , заданной прямоугольными координатами находятся по формулам , . То есть , , учитывая, что точка лежит во второй четверти.
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Даны точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид . В качестве вектора возьмем вектор . Тогда уравнение плоскости примет вид или .
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений не имеет решений, если равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2,4 |
|
|
|
– 2,4 |
Решение: Система линейных уравнений не имеет решений, если определитель матрицы системы равен нулю, а хотя бы один из определителей или нулю не равен. Например, Следовательно, система не имеет решений, когда и
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен двум, если …
|
|
|
минор второго порядка не равен нулю |
|
|
|
значения и равны нулю |
|
|
|
все миноры первого порядка равны нулю |
|
|
|
определитель матрицы равен двум |
ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке Тема: Обратная матрица Для матрицы не существует обратной, если значение равно …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
– 2 |
Решение: Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть Тогда обратной матрицы не существует при
ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке Тема: Вычисление определителей Определитель равен …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Линейные операции над матрицами Матрицы и имеют одинаковую размерность. Если – единичная матрица того же размера, что и матрицы и , и матрица , то верно равенство …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Произведением матрицы размера на матрицу размера называется матрица размера , элемент которой равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы и j-го столбца матрицы . Тогда .
Тест №3
ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Линейные операции над матрицами Даны матрицы и Тогда решением уравнения является матрица равная …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. Из матричного уравнения Тогда Следовательно,
ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы равен двум, если …
|
|
|
минор второго порядка не равен нулю |
|
|
|
значения и равны нулю |
|
|
|
все миноры первого порядка равны нулю |
|
|
|
определитель матрицы равен двум |
Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.
ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке Тема: Системы линейных уравнений Решение системы может иметь вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее: . Следовательно, система может быть записана в виде уравнения: , где – свободная переменная, а – базисная. Общее решение будет иметь вид: . Значит решением данной системы может быть (2С; С).
ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке Тема: Умножение матриц Даны матрицы и . Тогда матрица имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Вычисление определителей Определитель равен …
|
|
|
– 11 |
|
|
|
– 1 |
|
|
|
11 |
|
|
|
1 |
ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке Тема: Обратная матрица Дана матрицы . Тогда матрица равна …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Даны точки и . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку перпендикулярно вектору , имеет вид . В качестве вектора возьмем вектор . Тогда уравнение плоскости примет вид или .
ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Вершина конуса имеет координаты …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Конус, заданный уравнением имеет вершину с координатами . Таким образом, вершина конуса имеет координаты .
ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Дано уравнение прямой . Тогда уравнение этой прямой «в отрезках» имеет вид …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Уравнение прямой «в отрезках» имеет вид , где и – величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях и соответственно, считая от начала координат. Приведем уравнение к указанному виду: или .
ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Полярные координаты на плоскости В полярной системе координат даны точки и . Тогда полярные координаты середины отрезка равны …
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение: Точки и лежат на одной прямой, перпендикулярной полярной оси, и отстоят от полюса на расстояния 5 и 1 соответственно. Тогда середина отрезка находится на расстоянии 2 от полюса, полярный угол составляет .