ТЕСТ №1   ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Общее уравнение прямой, проходящей через точку   параллельно прямой   имеет вид …

Решение: Так как прямые параллельны, то уравнение искомой прямой задается как  . Подставляя в это уравнение координаты точки  , найдем значение  :  . Отсюда  . Тогда уравнение искомой прямой имеет вид  .

  ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Даны точки   и  . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  , имеет вид  . В качестве вектора   возьмем вектор  . Тогда уравнение плоскости примет вид   или  .

  ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Уравнение   в пространстве определяет …

			параболоид
			эллипсоид
			однополостный гиперболоид
			цилиндр

Решение: Уравнение вида   в пространстве определяет параболоид.

 ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке Тема: Полярные координаты на плоскости Точка   задана в полярной системе координат. Тогда ее прямоугольные координаты равны …

			,
			,
			,
			,

 ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Умножение матриц Даны матрицы   и   Тогда матрица   имеет вид …

  ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке Тема: Вычисление определителей Определитель   равен …

			– 11
			– 1
			11
			1

Решение: Определитель второго порядка вычисляется по формуле:  . Тогда 

  ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке Тема: Линейные операции над матрицами Дана матрица   Если   где   – единичная матрица того же размера, что и матрица  , то матрица   равна …

Решение: При умножении матрицы на число каждый элемент матрицы умножается на данное число. При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. Тогда:

  ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке Тема: Обратная матрица Дана матрицы  . Тогда матрица   равна …

Решение: Транспонируем данную матрицу   Обратная матрица имеет вид   Вычислим      Тогда 

  ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы   равен двум, если …

			минор второго порядка не равен нулю
			значения   и   равны нулю
			все миноры первого порядка равны нулю
			определитель матрицы равен двум

Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

  ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений   имеет единственное решение, если   не равно …

			10
			– 10
			2,5
			– 2,5

Решение: Система линейных уравнений   имеет единственное решение, если определитель матрицы системы   не равен нулю. Вычислим   Тогда 

ТЕСТ №2

  ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Уравнение сферы с центром в точке   и радиусом   имеет вид …

Решение: Уравнение сферы с центром в точке   и радиусом   имеет вид   То есть 

  ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Прямая проходит через точки   и  . Тогда общее уравнение этой прямой имеет вид …

Решение: Уравнение прямой, проходящей через две точки   и   имеет вид  . То есть  ,  , или  .

  ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке Тема: Полярные координаты на плоскости Точка   задана в прямоугольной системе координат. Тогда ее полярные координаты равны …

			,
			,
			,
			,

Решение: Полярные координаты   точки  , заданной прямоугольными координатами   находятся по формулам  ,  . То есть  ,  , учитывая, что точка   лежит во второй четверти.

  ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Даны точки   и  . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  , имеет вид  . В качестве вектора   возьмем вектор  . Тогда уравнение плоскости примет вид   или  .

  ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Системы линейных уравнений Система линейных уравнений   не имеет решений, если   равно …

			2,4
			– 2,4

Решение: Система линейных уравнений   не имеет решений, если определитель матрицы системы   равен нулю, а хотя бы один из определителей   или   нулю не равен. Например,   Следовательно, система не имеет решений, когда   и 

 ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы   равен двум, если …

			минор второго порядка не равен нулю
			значения   и   равны нулю
			все миноры первого порядка равны нулю
			определитель матрицы равен двум

  ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке Тема: Обратная матрица Для матрицы   не существует обратной, если значение   равно …

			2
			– 2

Решение: Матрица не имеет обратной, если определитель матрицы равен нулю, то есть   Тогда обратной матрицы не существует при 

 ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке Тема: Вычисление определителей Определитель   равен …

 ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Линейные операции над матрицами Матрицы   и   имеют одинаковую размерность. Если   – единичная матрица того же размера, что и матрицы   и  , и матрица  , то верно равенство …

  ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Умножение матриц Даны матрицы   и  . Тогда матрица   имеет вид …

Решение: Произведением   матрицы   размера   на матрицу   размера   называется матрица   размера  , элемент которой   равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы   и  j-го столбца матрицы  . Тогда  .

Тест №3

  ЗАДАНИЕ N 1 сообщить об ошибке Тема: Линейные операции над матрицами Даны матрицы   и   Тогда решением уравнения   является матрица   равная …

Решение: При сложении или вычитании матриц одинаковой размерности соответствующие элементы матриц складываются или вычитаются друг из друга. Из матричного уравнения   Тогда Следовательно, 

  ЗАДАНИЕ N 2 сообщить об ошибке Тема: Ранг матрицы Ранг матрицы   равен двум, если …

			минор второго порядка не равен нулю
			значения   и   равны нулю
			все миноры первого порядка равны нулю
			определитель матрицы равен двум

Решение: Рангом матрицы называется наибольший из порядков ее миноров, не равных нулю.

  ЗАДАНИЕ N 3 сообщить об ошибке Тема: Системы линейных уравнений Решение системы   может иметь вид …

Решение: По методу Гаусса приведем матрицу системы с помощью элементарных преобразований строк к трапецеидальной или треугольной форме. Запишем расширенную матрицу системы и преобразуем ее:    . Следовательно, система может быть записана в виде уравнения:  , где   – свободная переменная, а   – базисная. Общее решение будет иметь вид:  . Значит решением данной системы может быть  (2С;  С).

 ЗАДАНИЕ N 4 сообщить об ошибке Тема: Умножение матриц Даны матрицы   и  . Тогда матрица   имеет вид …

 ЗАДАНИЕ N 5 сообщить об ошибке Тема: Вычисление определителей Определитель   равен …

			– 11
			– 1
			11
			1

 ЗАДАНИЕ N 6 сообщить об ошибке Тема: Обратная матрица Дана матрицы  . Тогда матрица   равна …

  ЗАДАНИЕ N 7 сообщить об ошибке Тема: Прямая и плоскость в пространстве Даны точки   и  . Тогда уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  , имеет вид …

Решение: Уравнение плоскости, проходящей через точку   перпендикулярно вектору  , имеет вид  . В качестве вектора   возьмем вектор  . Тогда уравнение плоскости примет вид   или  .

  ЗАДАНИЕ N 8 сообщить об ошибке Тема: Поверхности второго порядка Вершина конуса   имеет координаты …

Решение: Конус, заданный  уравнением   имеет вершину с координатами  . Таким образом, вершина конуса   имеет координаты  .

  ЗАДАНИЕ N 9 сообщить об ошибке Тема: Прямая на плоскости Дано уравнение прямой  . Тогда уравнение этой прямой «в отрезках» имеет вид …

Решение: Уравнение прямой «в отрезках» имеет вид  , где   и   – величины отрезков, отсекаемых прямой на координатных осях   и   соответственно, считая от начала координат. Приведем уравнение   к указанному виду:   или  .

  ЗАДАНИЕ N 10 сообщить об ошибке Тема: Полярные координаты на плоскости В полярной системе координат даны точки   и  . Тогда полярные координаты середины отрезка   равны …

Решение: Точки   и   лежат на одной прямой, перпендикулярной полярной оси, и отстоят от полюса на расстояния 5 и 1 соответственно. Тогда середина отрезка   находится на расстоянии 2 от полюса, полярный угол составляет  .