27. Достаточное условие дифференцируемости двух действительных переменных.

Теорема: Пусть функция непрерывна в точке ( вместе со своими частными производными в самой точке, точке функция дифференцируема в точке (

Следствие: Если частные производные непрерывна в точке ( то функция также непрерывна в точке ( .

28.Дифференцирование сложной функции.

Пусть функция определена в некоторой окрестности точки ( .

Пусть переменные и являются функциями переменной , то есть где определены в некоторой окрестности точки , при этом ( (

В результате имеем сложную функцию переменной , а именно определена в некоторой окрестности точки . и называются промежуточными переменными.

Теорема: Пусть функции имеют производные в точке а функция дифференцируема в точке ( . Тогда сложная функция имеет производную в точке и эта производная находится по формуле:

Эту производную называют полной производной функции вычисленной в точке

Теорема: Пусть функции имеют производные по в точке а функция дифференцируема в точке ( . Тогда частные производные функции по переменным в точке находятся по формулам:

29. Частные производные высших порядков.

Пусть функция в области Д имеет частные производные , их называют частными производными первого порядка. Они являются функциями переменных х и у. И поэтому для этих производных снова можно находить частные производные по х и по у. Эти производные называют частными производными второго порядка для функции .

Обозначение:

По определению:

Аналогично определяются производные третьего и т.д. порядка. Это частные производные от частных производных второго порядка.

Частные производные вычисленные по различным аргументам называют смешанными частными производными.

Теорема: Пусть функция в некоторой окрестности точки ( имеет смешанные частные производные второго порядка, и эти производные непрерывны в точке ( тогда они равны в точке ( . То есть ( =

30. Восстановление функции по её полному дифференциалу.

Пусть функции непрерывны в некоторой плоскости вместе со своими частными производными

Запишем дифференциальное выражение:

– (1)

Теорема: Для того чтобы выражение (1) было полным дифференциалом некоторой функции в Д(XOY) необходимо и достаточно чтобы выполнялось равенство – (2) ,

31. Дифференциалы высших порядков для функции двух переменных.

Пусть функция дифференцируема в некоторой плоскости области Д . Тогда для неё существует полный дифференциал области Д. Тогда + - постоянные. - называют дифференциалом первого порядка. Этот дифференциал в свою очередь является функцией переменной x и y.

Предположим что имеет непрерывные частные производные до второго порядка включительно, тогда имеет непрерывные частные производные первого порядка области Д, а тогда (достаточное условие дифференцируемости функции) дифференциал является дифференцируемым функцией, и для неё существует дифференциал, и этот дифференциал называется дифференциалом второго порядка для функции .

Обозначение: .

По определению: = .

= +2

Аналогично определяется , обозначается дифференциал третьего порядка для функции в предположении что частные производные третьего порядка непрерывны.

Выражение для , ,…,и т. д. напоминают квадрат, куб и т.д. Поэтому символически дифференциал n-ого порядка можно записать так:

, где 1,2,3,4…n.