23. Предел функции двух действительных переменных . Повторные пределы.
Пусть
определена на множестве R
плоскости
и точка (
-
предельная точка множества Д.
Определение:
Число А
называется пределом функции
в точке (
,
если для любого
такое что если будут выполнятся
неравенства
то при таких
будет
выполнятся неравенство:
Обозначение:
Наряду с рассмотрением
предела функции двух переменных, для
функции двух переменных рассматривают
повторные пределы. Пусть при каждом
фиксированном x
существует
Этот предел будет являться функцией
переменной Х. То есть существует
Этот предел называется повторным
пределом для функции
в точке
Аналогично вводится
повторный предел
24. Непрерывность функции двух действительных переменных.
Теорема: Пусть
1.
Существует
и существует
то существует повторный предел
2.
Существует
существует
то существует
повторный предел
Пусть функция
определена в области Д
и точка (
Д.
Определение:
Функция
называется непрерывной в точке (
если
Определение:
Функция
называется непрерывной в точке (
если
такое что
если выполняется
то выполняется неравенство:
.
Пусть точка
тогда разности
называют
приращениями независимых переменных
(
при переходе от точки (
к точке
.
Отсюда
,
, разность
называется
полным приращением функции при переходе
от точки (
к точке
.Тогда
определение непрерывности функции в
точке будет таким:
;
Определение:
Функция
называется непрерывной в области Д,
если она непрерывна в каждой точке
принадлежащей области Д.
25. Определение частной производной функции двух переменных. Механический смысл.
Пусть функция
определена в области Д плоскости
и пусть
.
Координате х дадим приращение
, а координату у оставим без изменения,
получим точку
.
Запишем тогда приращение функции
-его
называют частным приращением функции
при переходе от точки
Определение:
Если
существует конечный предел
,
то этот предел называют частной
производной функции
в точке
по переменной х.
Обозначение:
;
Если хотят указать
конкретную точку
то пишут
Итак по определению
Аналогично
определяется частная производная
функции
по переменной y,
а именно
Механический
смысл частных
производных
и
это
скорость изменения значений функции
в точке
вдоль осей
и
соответственно, в положительном
направлении.
Чтобы вычислить частную производную функции по одной из переменных нужно на данный момент остальные переменные считать постоянными и находить производную функции от одной переменной.
26. Определение дифференцируемой функции двух действительных переменных и полного дифференциала. Необходимое условие дифференцируемости функции двух действительных переменных.
Пусть функция
определена в области Д плоскости
и пусть
.
Переменным х и у дадим приращение
и
. И запишем полное приращение функции
Определение: функция называется дифференцируемой в точке , если её полное приращение представимо в виде:
-(1)
Где А и В не зависят
от
и
а
,
-(1) называют условием дифференцируемости функции в точке .
Пусть для функции
выполняется условие дифференцируемости
(1) , тогда выражение
называется полным
дифференциалом функции
в точке
Обозначение:
.
Теорема: Если функция дифференцируема в точке то она непрерывна в этой точке.
Доказательство.
Воспользуемся определением непрерывности
в виде
;
Так как по
условию функция
дифференцируема в точке
то выполняется условие (1), получим :
следовательно по определению функция
непрерывна в точке (
Доказано.
Теорема: Если функция дифференцируема в точке то она имеет в этой точке частные производные.