Вопрос 12 Системы дифференциальных уравнений. Нормальная система дифференциальных уравнений. Метод исключений.

Система дифференциальных уравнений вида

где x₁, x₂, . . . , x_n – неизвестные функции независимой переменной t, называется нормальной системой.

Если правые части нормальной системы дифференциальных уравнений являются линейными функциями относительно x₁, x₂, . . . , x_{n ,} то система дифференциальных уравнений называется линейной.

Иногда нормальную систему дифференциальных уравнений удается свести к одному уравнению n-го порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение нормальной системы к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением всех неизвестных, кроме одного (так называемый метод исключения).

В некоторых случаях, комбинируя уравнения системы, после несложных преобразований удается получить легко интегрируемые уравнения (так называемый метод интегрируемых комбинаций), что позволяет найти решение системы.

Вопрос 13 Системы дифференциальных уравнений. Матричный метод.

Пусть дана система n линейных дифференциальных уравнений с n неизвестными функциями, коэффициенты которой постоянные:

Эту систему можно записать в виде одного матричного дифференциального уравнения

.

Здесь

Ищем решение системы в виде

где λ = const, p_i = const (i = 1, 2, . . . , n). Подставив значения x₁, x₂, . . . , x_n в систему дифференциальных уравнений, получим систему линейных алгебраических уравнений относительно p₁, p₂, . . . , p_n:

Система должна иметь ненулевое решение, поэтому для определения λ получаем уравнение n-й степени

Последнее уравнение является характеристическим уравнением матрицы А и в то же время характеристическим уравнением системы.

Предположим, что характеристическое уравнение имеет n различных корней λ₁ , λ₂ , . . .,λ_n,, которые являются характеристическими числами матрицы А. Каждому характеристическому числу соответствует свой собственный вектор. Пусть характеристическому числу λ_к соответствует собственный вектор (p_1k ; p_{2k ; . . . ;} p_nk ), где к = 1, 2, . . . , n. Тогда система дифференциальных уравнений имеет n решений:

1-е решение, соответствующее корню λ = λ₁ :

2-е решение, соответствующее корню λ = λ₂ :

n-е решение, соответствующее корню λ = λ_n :

Мы получили фундаментальную систему решений. Общее решение системы таково: