Вопрос 1 Что называется дифференциальным уравнением n-го порядка? Что является решением дифференциального уравнения n-го порядка?

Дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

F(x, y, y’, y’’…y⁽ⁿ⁾)=0.

Решением такого уравнения служит всякая n раз дифференцируемая функция y=φ(x), которая обращает данное уравнения в верное тождество, т.е.

F[x, φ(x),, φ’(x), φ’’(x),… φ⁽ⁿ⁾(x)]=0.

Вопрос 2 в чем состоит задача Коши для дифференциального уравнения n-го порядка?

Задача Коши для уравнения

F[x, φ(x),, φ’(x), φ’’(x),… φ⁽ⁿ⁾(x)]=0

состоит в том, что бы найти решение уравнения, удовлетворяющее условиям при x=x₀, где x₀, y₀, y’₀,…, y^(n-1)₀ – заданные числа, которые называются начальными данными, или начальными условиями.

Вопрос 3 Что называется общим решением дифференциального уравнения n-го порядка? Что называется частным решением дифференциального уравнения n-го порядка?

Функция у=φ(x, C₁, C₂, … , C_n) называется общим решением данного дифференциального уравнения n-го порядка, если при соответствующем выборе произвольных постоянных C₁, C₂, …,C_n эта функция является решением любой задачи Коши, поставленной для данного уравнения.

Всякое решение получаемое из общего решения при конкретных значениях постоянных C₁, C₂, … ,C_n, называется частным решением этого уравнения.

Для выделения из множества решений дифференциального уравнения определенного частного решения иногда используют и так называемые краевые условия. Эти условия (число которых не должно превышать порядка уравнения) задаются не в одной точке, а на концах некоторого промежутка. Краевые условия ставятся для уравнения порядка выше первого.

Вопрос 4

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Случай y⁽ⁿ⁾=f(x).

Решение этого уравнения находится n-кратным интегрированием, а именно:

где

Так как являются постоянными величинами, то общее решение может быть записано так:

Вопрос 5.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Уравнения, не содержащие искомой функции.

Порядок дифференциальных уравнений вида , не содержащих искомой функции. можно понизить, взяв за новую неизвестную функцию низшую из производных данного уравнения, т.е. полагая . Тогда получим уравнение

Таким образом, порядок уравнения понижается на k единиц.

Вопрос 6.

Дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка.

Уравнения, не содержащие независимой переменной.

Дифференциальные уравнения вида , не содержащие независимой переменной допускают понижение порядка на единицу, если положить , а за новый аргумент принять сам y. В этом случае y'', y''', … выразятся по формулам (они выводятся по правилу дифференцирования сложной функции) , , … через z и производные от z по y, причем порядок уравнения понизится на единицу.

Вопрос 7.

Линейные дифференциальные уравнения.

Линейным дифференциальным уравнением n-го порядка называется уравнение вида

. (1)

Здесь функции и заданы и непрерывны в некотором промежутке (a;b).

Уравнение (1) называется линейным неоднородным, или уравнением с правой частью. Если же , то уравнение называется линейным однородным. Однородное уравнение с той же левой частью, что и данное неоднородное, называется соответствующим ему.

Зная одно частное решение y₁ линейного однородного уравнения, можно с помощью линейной замены искомой функции понизить порядок, а, следовательно, и порядок соответствующего неоднородного уравнения на единицу. Полученное уравнение (n – 1)-го порядка относительно z также является линейным.