Вопрос 10. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод подбора частного решения.

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т.е. уравнения с правой частью:

определяется следующей теоремой:

Если u = u (x) - частное решение неоднородного уравнения, а y₁ , y₂ , . . . , y_n – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид y = u + C₁y₁ + C₂y₂ + . . . + C_ny_n; иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее решение соответствующего однородного уравнения).

Метод подбора частного решения (метод неопределенных коэффициентов). Этот метод применим только к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами и только в том случае, когда его пра­вая часть имеет следующий вид:

(или является суммой функций такого вида). Здесь а и β — постоянные, Р_п (х) и Q_т(x) — многочлены от х соответственно n-й и т-й степени.

Частное решение уравнения n-го порядка

(где f (х) имеет указанный вид, а a₁ , a₂ , . . . , a_n — действительные постоянные коэффициенты) следует искать в виде

Здесь r равно показателю кратности корня α + βi в характеристическом уравнении

kⁿ + a₁k^n-1 + . . . + a_n = 0

(если характеристическое уравнение такого корня не имеет, то следует положить r = 0);

P_l (x) и Q_l (x) — полные многочлены от х степени l с неопределенными коэффициентами, причем l равно наибольшему из чисел п и т (1 = п≥т, или l = m≥n):

Неопределенные коэффициенты можно найти из системы линейных алгебраических уравнений, получаемых отождествлением коэффициентов подобных членов в правой и левой частях исходного уравнения после подстановки в него и (х) вместо у.

Проверку правильности выбранной формы частного решения дает сопоставление всех членов правой части уравнения с подобными им членами левой части, появившимися в ней после подстановки и (х).

Если правая часть исходного уравнения равна сумме нескольких различных функций рассматриваемой структуры, то для отыскания частного решения такого уравнения нужно использовать теорему наложения решений: надо найти частные решения, соответствующие отдельным слагаемым правой части, и взять их сумму, которая и является частным решением исходного уравнения (т. е. уравнения с суммой соответствующих функций в правой части).

Частными случаями функции f (х) рассматриваемой структуры (при наличии которых в правой части уравнения применим метод подбора частного решения) являются следующие функции:

Вопрос 11 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа).

Структура общего решения линейного неоднородного уравнения, т.е. уравнения с правой частью:

определяется следующей теоремой:

Если u = u (x) - частное решение неоднородного уравнения, а y₁ , y₂ , . . . , y_n – фундаментальная система решений соответствующего однородного уравнения, то общее решение линейного неоднородного уравнения имеет вид y = u + C₁y₁ + C₂y₂ + . . . + C_ny_n; иными словами, общее решение неоднородного уравнения равно сумме любого его частного решения и общего решения соответствующего однородного уравнения.

Следовательно, для построения общего решения неоднородного уравнения надо найти одно его частное решение (предполагая уже известным общее решение соответствующего однородного уравнения).

Метод вариации произвольных постоянных. Применяется для отыскания частного решения линейного неоднородного уравнения n-го порядка как с переменными, так и с постоянными коэффициентами, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения.

Пусть известна фундаментальная система решений y₁ , y₂ , . . . , y_n соответствующего однородного уравнения. Тогда общее решение неоднородного уравнения следует искать в виде

u(x) = C₁(x)y₁ + C₂(x)y₂ + . . . + C_n(x)y_n ,

где функции С₁ (х), С₂(х), . . . , С_п (х) определяются из системы уравнений

[f (x) — правая часть данного уравнения].

Для уравнения второго порядка соответствующая система имеет вид

Решение этой системы находится по формулам

в силу чего и (х) можно сразу определить по формуле

( - вронскиан решений y₁ и у₂).