17. Метод Гаусса решения линейных систем общего вида.

Метод Гаусса состоит из 2х этапов:

1.Прямой ход(переход от системы к расшир. Матрице системы и приведение ее к ступенчатому виду)

2.Обратный ход(переход от полученной матрицы к эквивалентной системе;три случая: полученная матрица равнв дельте, т.е. ранг системы = числу неизвестных; в полученной системе есть ур-ие вида 0=альфа, не имеет решения; если число уравнений полученной системы получилось меньше числа неизвестных, то система неопределенна, имеет множество решений)

18. Однородные системы m линейных уравнений с n неизвестными.

19. Фундаментальная система решений.

Система линейно – независимых решений л1, лн называется фундаментальной, если любое решение системы можно представить в виде линейной комбинации этих решений.

Т. Если ранг системы АХ=0 меньше числа неизвестных, то число линейно – независимых

20. Линейные преобразования, их матрицы.

2. Векторы

21. Векторы, линейные операции над векторами.

Вектор – направленный отрезок.

Операции:

Векторное произведение – векторным произведением называется вектор с, который обозначается с=а*в, который удовлетворяет следующим свойствам: с перпендикулярен а и с перпендикулярен в; модуль с=модули произведения а и в на синальфа; а,в,с в указанньом порядке образует правую тройку .

22. Проекция вектора на ось, свойства.

23. Определение длины и направления вектора.

24. Параллельность, перпендикулярность векторов, угол между векторами.

25. Базис на плоскости и в пространстве, разложение по базису.

26. Линейная зависимость и линейная независимость векторов.

27. Изменение координат вектора при переходе к новому базису.

28. Скалярное произведение векторов, определение, основные свойства, координатная форма.

29. Векторное произведение векторов, определение, основные свойства, координатная форма.

30. Смешанное произведение векторов, определение, основные свойства, координатная форма.

Смешанным произведением векторов а, в, с называется число, которое получается умножением двух векторов векторно с последующим умножением сколярно.

Свойства:

1.авс=0 если один из векторов=0или какие либо два вектора перпендикулярны и если 3 вектора в одной плоскости.

2.авс=вса=сав=-вас=-сва=-асв

3.

4.площадь параллелип авс=перпендикуляр модуля авс

5.авс больше 0 следовательно правая тройка авс меньше 0 следовательно левая тройка.

3. Аналитическая геометрия на плоскости

28. Задание точек и линий на плоскости: Прямоугольная система координат Полярная система координат.

Точки и линии на плоскости задаются с помощью координат.

Прямоугольная система координат задается с помощью осей х, у.

Полярная система координат задается точкой о(0,0), которой называется полюс, полярной осью.

28. Уравнение линии на плоскости: в декартовых координатах, в полярных координатах, параметрическое.

Уравнение вида F(х,у)=0, содержащее переменные х и у определяет линию на плоскости в декардовых координатах, а в полярных координатах линия создается уравнением F(r,лямда)=0. + система из двух этих уравнений.

28. Деление отрезка в заданном отношении.

28. Прямая на плоскости: различные виды уравнений, их вывод (с угловым коэффициентом, общее, в отрезках, через точку в данном направлении, через 2 точки, через точку ┴ вектору, канонические).

Любое уравнение вида F(х,у)=0, в которой переменные х,у содержаться в первой степени и не переумножаются между собой называются линейным, графиком уравнения является прямая.

Виды:

1.уравнение прямой с угловым коэфицентом (у=кх+в, к=лг альфа)

2.общее уравнение (Ах+Ву+С=0)

3.В отрезках (Х\а+У\в=1 а, в – отрезки отсекаемые прямой всех координат)

4.через точку в данном направлении (У-Уо=к(Х-Хо))

5.через 2 точки (Х-Х2\Х2-Х1 – У-У1\У2-У1, К=тг альфа= У2-У1\Х2-Х1)

6.через точку перпендикулярную вектору

7.каноническое (Х*син альфа + У* син альфап – р=0, р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую)

28. Угол между двумя прямыми на плоскости, условия параллельности и перпендикулярности прямых при различных способах задания.

Угол между прямыми: Тг альфа =

Параллельность прямых: Л1:У=К1х+в1 Л1 К1=К2

Л2:У=К2х+в2

Перпендикулярность прямых : Л1:У=К1х+в1 Л1 Л2 К1*К2=-1

Л2:У=К2х+в2

28. Преобразование прямоугольных координат: сдвиг, поворот

Параллельный перенос (сдвиг) .осуществляется параллельный перенос осей координат таким образом, что точка О(0,0) переходит в точку О штрих (а,в)

Поворот оси вокруг точки О на угол альфа ( )

28. Кривые 2 порядка: общий и канонический вид.

Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второго порядка относительно х и у называются линиями 2го порядка.

Ах2+2вху+Су2+2Дх+2Еу+F=0

А2+В2+С2 не =0

28. Кривые 2 порядка: Окружность, эллипс, определения, вывод уравнений, построение.

Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второго порядка относительно х и у называются линиями 2го порядка.

Окружность R в центре с точкой С(Хо,Уо) называется множество точек М(х,у) для которых расстояние МС=R. Вывод уравнения: т.к. МС=R следовательно , R2=(Х-Хо)2+(У-Уо)2-конноническое уравнение окружности.

Геометрическое место точек М(х,у) сумма расстояний от которых до 2х данных точек F1(-c,0), F2(c?0), называемых фокусами есть величина постоянная, большая, чем расстояние между фокусами.

Вывод: а2-с2=в2 следовательно

Следовательно х2(а2-с2)+у2а2=а2(а2-с2) следовательно х2\а2+у2\в2=1

28. Кривые 2 порядка: Гипербола, определение, вывод уравнения, построение.

Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второго порядка относительно х и у называются линиями 2го порядка.

Гиперболой называется геометрическое положение точек, для которых модуль разности расстояний для двух данных точек называется фокусом есть величина постоянная и меньшее расстояние между фокусами.

Вывод: а2+в2=с2 следовательно х2\а2-у2\в2=1 где а и в =действительная и мнимая полуоси.

28. Кривые 2 порядка: Парабола, определение, вывод уравнения, построение.

Линии, определяемые алгебраическими уравнениями второго порядка относительно х и у называются линиями 2го порядка.

Параболой называется множество точек в плоскости в каждой из которых находится на одинаковых расстоянии от точки, называемой фокусом и прямой, называемой директрисой.

У2=2рх, х=-р\2 - директриса,

28. Приведение общего уравнения линии 2 порядка к каноническому виду.

Чтобы привести уравнение второго порядка к каноническому виду необходимо выделить полный квадрат там, где это необходимо.