Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Lineynaya_algebra.docx
Скачиваний:
9
Добавлен:
21.04.2019
Размер:
31.72 Кб
Скачать

  1. Линейная алгебра

  1. Определители 2-го порядка, определение, свойства.

Определитель квадратной матрицы А порядка н есть число, вычисляемое следующим образом: detA, A.

Свойства:

1.Величина определителя не изменится при замене строк столбцами

2.При перемене 2 строк, столбцов определитель меняет знак

3.Определитель =0 если, все эл-ты некоторой сточки, столбца =0

4.Множитнль,общий для элементов строчки, столбца можно выносить за скобку определителя

5.Определитель с двумя одинаковыми строками, столбцами =0

  1. Определители 3-го порядка, определение, свойства.

Определитель квадратной матрицы А порядка н есть число, вычисляемое следующим образом: detA, A.

Свойства:

1.Величина определителя не изменится при замене строк столбцами

2.При перемене 2 строк, столбцов определитель меняет знак

3.Определитель =0 если, все эл-ты некоторой сточки, столбца =0

4.Множитнль,общий для элементов строчки, столбца можно выносить за скобку определителя

5.Определитель с двумя одинаковыми строками, столбцами =0

  1. Способы вычисления определителей 3-го порядка.

Определитель 3го порядка равен + произ=ия элементов главной диагонали элементов стоящих на параллели к главной диагонали и противолежащих им вершин, со знаком + и произведение элементов побочной диагонали, элементов лежащих на параллелях к этой диагонали и противоположных веошин со знаком –.

  1. Матрицы, классификация матриц.

Матрицей, размером м/н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н столбцов.

Классификация матриц: квадратичная (и=ж), диагональные (юбразуют главную диагональ), единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспанированная, ступенчатая.

  1. Операции над матрицами.

Складывать матрицы можно токо одинакого размера

Чтобы матрицу А можно было умножить на матрицу В необходимо чтобы число столбцов матрицы А = числу строк матрицы В

  1. Обратная матрица, определение, способ нахождения.

Матрица А называется обратной к невырожденной матрице В, если А*В=В*А=Е

Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен 0.

  1. Матричный многочлен

Многочлен вида = ..где А-матрица размерности n, а1 – коэфиценты многочлена.

  1. Матричные уравнения.

Уравнения вида АХ=В называюися матричными, если А,Х,В это матрицы с размерностью необходимой для выполнения указанных операций.

  1. Собственные числа и векторы матрицы.

Собственными числами квадратной матрицы А является корни характеристического уравнения (А-альфаЕ)=0

Собственными векторами матрицы А называется ненулевой вектор Х, для которого выполняются условия АХ=альфаХ, т.е. при умножении А*Х получается вектор коллениарный вектору Х. Его можно найти решив однородную систему для каждого альфа (А-альфаЕ)Х=0

  1. Норма матрицы. Число обусловленности матрицы.

Нормой матрицы А называется вещественное число и удовлетворяющее следующим условиям:

││А││>0

││2*A││=│ │*││A││

││А+В││<=││А││+││В││

││А*В││<=││А││*││В││

Число обусловленности матрицы k(A)= ││А││*││ ││, если это число мало, то матрица хорошо обусловлена, если это число велико, то матрица плохо обусловлена.

  1. Элементарные преобразования над матрицами.

Под элементарными преобразованиями над матрицами понимают:

Замену строк столбцами, а столбцов строками

Перестановку строк

Вычеркивание строки элементов которой нули

Вычеркивание строки = какой нить другой строки

Умножение какой нить строки на число не равной 0

Прибавление к элементам какой нить строки элементов другой строки

Все эти правила относятся так же и для солбцов

  1. След матрицы, ранг матрицы.

Следом матрицы называется сумма диагоналей элементов.

Рангом матрицы называется наивысший порядок минора не равный 0.

  1. Системы m линейных уравнений с n неизвестными, общий вид, совместность, равносильность.

Системы m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида

Система (*) называется совместной, если хотябы имеет одно решение, если система не имеет решения, то она называется несовместной. Т Кронекера – для того чтобы система (*) была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы были одинаковы.

  1. Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.

Для невырожденной матрицы х:=

Дельта – detA, дельта i – определитель, получаемый из определителя системы;

Три линейных уравнения с 3мя неизвестными

Сначало находим дельту, х1=дельта1\дельта и т.д.;

  1. Матричный способ решения систем линейных уравнений.

А*Х=В, Х= *В

  1. Теорема Кронекера-Капелли. (Критерий совместности СЛУ.)

Т Кронекера – для того чтобы система (*) была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы были одинаковы.

Система (*) называется определенной, если она имеет токо одно решение, при этом ранг сис-мы равен числу неизвестных. Система (*) называется неопределенной, если она имеет больше одного решения, при этом ранг сис-мы меньше числа неизвестных.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]