- •Линейная алгебра
- •Определители 2-го порядка, определение, свойства.
- •Определители 3-го порядка, определение, свойства.
- •1.Величина определителя не изменится при замене строк столбцами
- •Метод Гаусса решения линейных систем общего вида.
- •Векторы
- •Аналитическая геометрия на плоскости
- •Аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве
- •Комплексные числа
- •Абстрактная алгебра
- •Алгебраические системы с двумя операциями: Кольца, Поля.
- •Алгебраические системы с внутренней и внешней операциями: Векторные (линейные) пространства.
- •Оператор, его матрица. Ядро, образ оператора.
Линейная алгебра
Определители 2-го порядка, определение, свойства.
Определитель квадратной матрицы А порядка н есть число, вычисляемое следующим образом: detA, A.
Свойства:
1.Величина определителя не изменится при замене строк столбцами
2.При перемене 2 строк, столбцов определитель меняет знак
3.Определитель =0 если, все эл-ты некоторой сточки, столбца =0
4.Множитнль,общий для элементов строчки, столбца можно выносить за скобку определителя
5.Определитель с двумя одинаковыми строками, столбцами =0
Определители 3-го порядка, определение, свойства.
Определитель квадратной матрицы А порядка н есть число, вычисляемое следующим образом: detA, A.
Свойства:
1.Величина определителя не изменится при замене строк столбцами
2.При перемене 2 строк, столбцов определитель меняет знак
3.Определитель =0 если, все эл-ты некоторой сточки, столбца =0
4.Множитнль,общий для элементов строчки, столбца можно выносить за скобку определителя
5.Определитель с двумя одинаковыми строками, столбцами =0
Способы вычисления определителей 3-го порядка.
Определитель 3го порядка равен + произ=ия элементов главной диагонали элементов стоящих на параллели к главной диагонали и противолежащих им вершин, со знаком + и произведение элементов побочной диагонали, элементов лежащих на параллелях к этой диагонали и противоположных веошин со знаком –.
Матрицы, классификация матриц.
Матрицей, размером м/н называется прямоугольная таблица чисел, содержащая м строк и н столбцов.
Классификация матриц: квадратичная (и=ж), диагональные (юбразуют главную диагональ), единичная, нулевая, треугольная, симметричная, транспанированная, ступенчатая.
Операции над матрицами.
Складывать матрицы можно токо одинакого размера
Чтобы матрицу А можно было умножить на матрицу В необходимо чтобы число столбцов матрицы А = числу строк матрицы В
Обратная матрица, определение, способ нахождения.
Матрица А называется обратной к невырожденной матрице В, если А*В=В*А=Е
Невырожденная матрица – квадратная матрица, определитель которой не равен 0.
Матричный многочлен
Многочлен вида = ..где А-матрица размерности n, а1 – коэфиценты многочлена.
Матричные уравнения.
Уравнения вида АХ=В называюися матричными, если А,Х,В это матрицы с размерностью необходимой для выполнения указанных операций.
Собственные числа и векторы матрицы.
Собственными числами квадратной матрицы А является корни характеристического уравнения (А-альфаЕ)=0
Собственными векторами матрицы А называется ненулевой вектор Х, для которого выполняются условия АХ=альфаХ, т.е. при умножении А*Х получается вектор коллениарный вектору Х. Его можно найти решив однородную систему для каждого альфа (А-альфаЕ)Х=0
Норма матрицы. Число обусловленности матрицы.
Нормой матрицы А называется вещественное число и удовлетворяющее следующим условиям:
││А││>0
││2*A││=│ │*││A││
││А+В││<=││А││+││В││
││А*В││<=││А││*││В││
Число обусловленности матрицы k(A)= ││А││*││ ││, если это число мало, то матрица хорошо обусловлена, если это число велико, то матрица плохо обусловлена.
Элементарные преобразования над матрицами.
Под элементарными преобразованиями над матрицами понимают:
Замену строк столбцами, а столбцов строками
Перестановку строк
Вычеркивание строки элементов которой нули
Вычеркивание строки = какой нить другой строки
Умножение какой нить строки на число не равной 0
Прибавление к элементам какой нить строки элементов другой строки
Все эти правила относятся так же и для солбцов
След матрицы, ранг матрицы.
Следом матрицы называется сумма диагоналей элементов.
Рангом матрицы называется наивысший порядок минора не равный 0.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными, общий вид, совместность, равносильность.
Системы m линейных уравнений с n неизвестными называется система вида
…
Система (*) называется совместной, если хотябы имеет одно решение, если система не имеет решения, то она называется несовместной. Т Кронекера – для того чтобы система (*) была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы были одинаковы.
Формулы Крамера для решения систем линейных уравнений.
Для невырожденной матрицы х:=
Дельта – detA, дельта i – определитель, получаемый из определителя системы;
Три линейных уравнения с 3мя неизвестными
Сначало находим дельту, х1=дельта1\дельта и т.д.;
Матричный способ решения систем линейных уравнений.
А*Х=В, Х= *В
Теорема Кронекера-Капелли. (Критерий совместности СЛУ.)
Т Кронекера – для того чтобы система (*) была совместна необходимо и достаточно чтобы ранг матрицы системы и ранг расширенной матрицы системы были одинаковы.
Система (*) называется определенной, если она имеет токо одно решение, при этом ранг сис-мы равен числу неизвестных. Система (*) называется неопределенной, если она имеет больше одного решения, при этом ранг сис-мы меньше числа неизвестных.