8.9. Квантові числа та їх фізичний зміст

Нерелятивістська модель атома водню на основі рівняння Шредінгера визначає стаціонарні стани 3-ма квантовими числами , і .

Головне квантове число визначає енергію стаціонарного стану

, (8.69)

де ,

а n набуває значень:

(8.70)

Побічне або орбітальне квантове число визначає квадрат моменту кількості руху

(8.71)

і набуває таких дискретних значень

(8.72)

Воно подібне до числа n_ в моделі Бора-Зомерфельда, проте . Так як енергія стану визначається лише головним квантовим числом, то при даному має місце n-кратне виродження - при даній енергії існує станів руху з різними , тобто з різними моментами кількості руху ).

Магнітне квантове число визначає проекцію моменту кількості руху на вісь

(8.73)

і набуває дискретних значень , де

(8.74)

Таблиця 8.3. Кількість станів із різними значеннями квантового числа m в станах, що визначаються квантовим числом .

Стан
	0	1	2	3	4	5
	1	3	5	7	9	11

При заданому значенні може бути станів із різними значеннями квантових чисел та m, тобто має місце - кратне виродження. Дійсно:

. (8.75)

Таким чином, у сучасній атомній фізиці квантові числа відіграють дуже важливу роль. Вони визначають параметри стаціонарних електронних станів у атомі енергію, момент кількості руху та зв’язаний з ним магнітний момент. Квантові числа дозволяють визначати ці величини, а також можливу кількість станів та ступінь виродження енергетичних рівнів. Виродження енергетичних рівнів можна зняти за допомогою силових полів, а саме магнітного та електричного. Зняття виродження ми розглянемо в іншому розділі. Переходи між окремими стаціонарними станами супроводжуються випромінюванням квантів електромагнітних хвиль і, щоб знайти їх, потрібно використати правила відбору.

8.10. Правила відбору квантових чисел

Розглянемо перехід з одного стаціонарного стану з і до

іншого з і Хвильові функції цих стаціонарних станів мають

вигляд

(8.76)

Знайдемо середнє значення в стаціонарному стані.

. (8.77)

З формули (8.71) видно, що в стаціонарних станах середнє значення не залежить від часу. Тому й середній дипольний момент не залежить від часу. Незалежність дипольного моменту від часу означає, що в цьому випадку не відбувається випромінювання електромагнітних хвиль.

У перехідному стані від стаціонарного стану із квантовим числом до іншого з квантовим числом виникає змішаний стан, який є суперпозицією цих двох станів і із хвильовою функцією

, (8.78)

де та - імовірності системи знаходитись в або станах. Умова нормування дає

. (8.79)

Обчислимо тепер середнє значення для змішаного стану

(8.80)

В окремому випадку зв’язаної системи із двома станами цю задачу можна спростити, бо для такої системи

і

і формула (8.74) набуває вигляду

,

де

. (8.81)

Вираз (8.81) називається матричним елементом переходу електрона з одного стану із квантовим числом до іншого стану з квантовим числом . Якщо під час цього переходу матричний елемент не дорівнює нулеві ( ), то й дипольний момент . Це означає, що при такому переході диполь випромінює електромагнітні хвилі із частотою, яка визначається за правилом частот Бора .

Таким чином, матричний елемент визначає дозволені й заборонені переходи, тобто правила відбору:

заборонені переходи;

дозволені переходи . (8.82)

Визначимо для прикладу правило відбору для магнітного числа m для дипольних переходів (при умові ) у випадку хвильових функцій електрона в атомі водню, для якого

. (8.83)

Знайдемо середнє значення

. (8.84)

Інтеграли в (8.78) можна записати як добуток трьох інтегралів по і , тому що функції і залежать лише від своєї змінної або . За умовою, що , знаходимо дозволений перехід. Це означає, що всі три інтеграли в (8.84) повинні не дорівнювати нулеві. Обмежимося розглядом інтеграла за змінною .

(8.85)

Умова (8.85) виконується лише, коли

(8.86)

За умовою, що , де таким же способом отримаємо ще одну умову відбору

(8.86*)

Тому правило відбору для магнітного квантового числа для спонтанних дипольних переходів має наступний вигляд

(8.87)

Аналогічно, аналізуючи інтеграл за , знайдемо правила відбору для орбітального числа , яке має такий вигляд для спонтанних дипольних переходів

(8.88)

Зміна головного квантового числа не обмежується. Воно може змінюватись на будь-яке число одиниць.

Ці правила відбору справедливі лише для спонтанних дипольних переходів. Вони іноді називаються правилами відбору Лапорта. Для інших випадків більш складних переходів, наприклад. квадрупольних та для вимушених переходів ці правила відбору ускладнюються. Квадрупольне випромінювання значно слабше дипольного (в 10⁶ раз). Правила відбору при квадрупольних переходах змінюються: , .

Існує ще одне правило визначення для квантових переходів з випромінюванням.

Правило Лапорта: у дипольному наближенні випромінювальний перехід дозволений між станами різної парності. Стан називається парним, якщо -функція не змінює знаку при інверсії системи координат. Наприклад для функцій атома водню -функція є парною, якщо вона не змінює знак при заміні аргументу на у протилежному випадку функція є непарною. З конкретного вигляду хвильових функцій для атома водню випливає, що -функція парна, якщо непарна — якщо , де -орбітальне квантове число. Згідно формули (8.81) матричний елемент перехода . не повинен змінюватися при операціях інверсії. Але (координата) завжди змінює знак при операції інверсії системи, тому добуток хвильових функцій в інтегралі (8. 81) повинен бути відємним. Звідси випливає ,що квантовий перехід з випромінюванням можливий тільки між станами різної парності.