8.5. Фізичний зміст квантових чисел та

Запишемо вираз для кінетичної енергії електрона в сферичних координатах

, (8.29)

де (8.30)

(8.31)

Оператор кінетичної енергії має вигляд

. (8.32)²³

Порівнюючи вираз для кінетичної енергії (8.29) з виразом для її оператора (8.32), можемо встановити вигляд оператора кутового моменту кількості руху

. (8.33)

Його власні функції знаходяться із рівняння:

(8.34)

або

. (8.34*)

Кутова частина рівняння Шредінґера (8.16) має подібний до (8.34*) вигляд

Порівнюючи (8.16) і (8.34*), бачимо, що вони тотожні тоді, коли

і .

Тому можна дійти до висновку, що квадрат моменту кількості руху електрона в полі центральних сил визначається квантовим числом

, (8.35)

де квантове число набуває значення

В спектроскопії стаціонарні стани руху з різними квантовими числами позначаються буквами, а саме:

	0	1	2	3	4
стан

У s-стані з момент кількості руху дорівнює нулю .

Можна також довести вираз для оператора проекції моменту кількості руху на вісь

. (8.36)

Дійсно, , а . Коли перейти від декартових до сферичних координат за допомогою співвідношень , то отримаємо формулу (8.36).

, тому .

Тепер запишемо основне рівняння квантової механіки для проекції моменту кількості руху

(8.37)

або з урахуванням (8.36)

(8.37*)

Рівняння (8.37*) має такий загальний розв’язок:

(8.38)

який збігається з виглядом хвильової функції електрона від кута в атомі водню . Підставивши її в рівняння (8.37), отримаємо - проекцію кутового моменту на вісь :

(8.39)

Отже згідно формулі (8.39) фізичний зміст квантового числа m полягає в тому, що воно визначає проекцію моменту кількості руху електрона на напрямок осі . Воно змінюється від до , тобто може мати значень:

.

Число називається магнітним квантовим числом. Коли відоме число , то стає відомим значення Це дозволяє за допомогою (4.21*) знайти значення проекції магнітного моменту

, (8.40)

де - гіромагнітний фактор, рівний 1 для орбітального моменту кількості руху . Із співвідношення (8.40) можна записати

(8.41)

де = магнетон Бора.

Магнітний момент визначається за формулою

. Його проекції мають вигляд:

,

де

Оскільки і - дійсна функція, то із всіх проекцій лише . Тоді

За допомогою хвильових функцій ми отримали відношення проекції магнітного моменту до механічного таке, як і раніше в теорії Бора.

===============================================

Таким чином, формула (8.41) вказує, що фізичний зміст квантового числа m полягає в тому, що воно визначає проекцію магнітного моменту на напрямок вісі z.