6.3. Фізичний зміст хвильової функції

Дифракційні досліди Бібермана, Сушкина та Фабриканта, а також досліди з інтерференції частинок інших авторів показали, що хвильові властивості частинок притаманні окремим частинкам, а не їх ансамблю. Виявилось також, що кожна частинка якби взаємодіє зі всією дифракційною ґраткою і в той же час реєструється детектором, як окрема частинка. При повторенні досліду електрон може бути зареєстрований детектором в іншому положенні . Усе це дає підстави для того, щоб для інтерпретації елементарних взаємодій застосовувати статистичну інтерпретацію. Вперше статистичну інтерпретацію хвильової функції запропонував лауреат Нобелівської премії німецький фізик Макс Борн у 1926 році.

Він висловив гіпотезу, що хвильова функція є принципово комплексною, яка не спостерігається. Це означає, що фізичний зміст має лише квадрат хвильової функції, яка є густиною ймовірності знайти частинку в даній точці простору.

Коли відома хвильова функція то ймовірність знайти частинку в елементі об'єму дорівнює

. (6.22)

Частинка у вільному від полів просторі є плоскою хвилею де Бройля , тому густина ймовірності знайти її у точці r є сталою величиною , бо ця хвиля не локалізована, а розмазана по всьому вільному простору.

Для хвильових функцій виконується принцип суперпозиції - один із найбільш важливих принципів квантової механіки, який разом із співвідношеннями невизначеності (6.15) і (6.18*) визначає структуру її математичного апарату. Принцип суперпозиції полягає в тому, що коли частинка може знаходитись у стані з хвильовою функцією або в стані з хвильовою функцією , то вона може також знаходитись ще й в стані, котрий описується лінійною комбінацією цих хвильових функцій

, (6.23)

де та - довільні комплексні числа, які визначають долю (внесок) амплітуд та фаз станів 1 і 2, що входять до хвильової функції складного стану , у якому такі ж вимірювання, як і при визначенні фізичних величин у станах 1 і 2 дають у новому стані  фізичні величини станів 1 і 2 із ймовірностями і . Необхідність введення принципу суперпозиції станів обумовлена корпускулярно-хвильовим дуалізмом – загальною і універсальною властивістю природи. Він дозволяє усунути протиріччя між хвильовим і корпускулярним описом, що існував у рамках класичних уявлень про частинки як матеріальні точки, які рухаються вздовж певних траєкторій, й описувати їх хвильові властивості в термінах корпускулярних уявлень.

Розглянемо приклад інтерференції дифрагованих електронів на двох щілинах (рис.6.2), як і раніше у розділі 5.4. Нехай для спрощення задачі хвильові функції електронів, що пройшли крізь першу та другу щілини, мають вигляд плоских хвиль де Бройля з різними фазами і амплітудами рівним 1

(6.24)

де і - різниця фаз при проходженні електроном першої або другої щілини. За принципом суперпозиції хвильова функція змішаного стану має вигляд

Тоді густина ймовірності знайти електрон у цьому стані це квадрат модуля цієї хвильової функції:

(6.25)

де Вона залежить від координат точки спостереження . У площині спостереження утворюється дифракційна картина просторового перерозподілу густини ймовірності у вигляді мінімумів та максимумів (рис.6.2), яка якісно збігається з експериментальним розподілом (рис.5.21).

Рис.6.2. Інтерференція дифрагованих хвиль на двох щілинах.

Вираз (2.23) для принципу суперпозиції, подібний до відповідного виразу в класичній фізиці. Проте він має дві істотні відмінності по відношенню до виразу класичної фізики.

По-перше, на відміну від класичної фізики, у квантовій механіці у стані ми отримуємо при вимірюванні не комбінацію фізичних величин і , а тільки одну з величин або . Імовірність отримати або після вимірювання визначається коефіцієнтами і , бо вона рівна і . Тому, коли стан характеризується значенням фізичної величини, наприклад, для _- плоскої хвилі де Бройля імпульсом , - імпульсом , то стан не визначається певним значенням імпульсу , бо не є плоскою хвилею де Бройля з одним значенням імпульсу , а є проміжним станом між станами і . Отже квантова механіка допускає проміжні стани між станами і , у яких деякі фізичні величини не мають визначених значень (див. співвідношення (6.15) і (6.16*)). Тобто суть квантово-механічної логіки полягає в тому, що квантова система можливих станів обирає не один із станів „той” або „той”, а всі зразу і „той” і „той”. Цим вона відрізняється від класичної логіки, де використовується вибір „або - або”.

По-друге, в класичній фізиці складання двох станів дає новий стан, наприклад, нове коливання, а в квантовій механіці складання двох однакових станів зводиться до множення хвильової функції на сталий множник, тобто ми отримуємо той же самий стан. Фізичні величини при квантовій суперпозиції не змінюють своїх значень, бо не змінюють свого стану.

Таким чином, принцип суперпозиції показує, що із квантових станів, котрі є в нашому розпорядженні, можна багатьма способами створювати нові стани і кожний стан можна розглядати як результат суперпозиції двох або багатьох інших станів, причому це можна здійснювати нескінченною кількістю способів. Тобто будь-яка хвильова функція може бути розкладена на суму (взагалі нескінчену) власних функцій оператора будь-якої фізичної величини , наприклад енергії, імпульсу, моменту імпульсу тощо, при цьому квадрат модулів коефіцієнтів у розкладі мають зміст ймовірностей для величини набувати значення .

Оскільки є густиною ймовірності знайти частинку в певній точці простору з координатами , а ймовірність повинна бути скінченною, однозначною, неперервною та нормованою, то на хвильову функцію також накладають обов’язкові умови

• скінченність,

• однозначність,

• неперервність,

• ортонормованість, тобто

, (6.26)

де інтеграл береться по всьому об’єму. Крім того, внаслідок принципу суперпозиції хвильова функція повинна описуватись лінійним хвильовим рівнянням.

При нормуванні хвильових функцій з неперервним спектром за формулою (6.26), наприклад, для плоскої хвилі де Бройля, виникають труднощі. В цих випадках, щоб уникнути нескінченості, частинка розглядається в обмеженому просторі й нормування виконується за допомогою - функції Дірака:

, (6.27)

де - власне значення оператора хвильової функції і . Інші способи нормування будуть розглядатись в курсі квантової механіки.

===================================================

Наведемо конкретні вирази для - функції.

===========================================================

Для хвильової функції, яка залежить від координат координаційного простору, можна знайти середні значення фізичних величин, які залежать від координат:

(6.28)

Якщо ми цікавимося середнім значенням імпульсу або іншої фізичної величини, яка залежить від імпульсу, то розвинемо в ряд Фур’є (фізичний зміст хвильової функції не спотворюється, бо вона підлягає принципу суперпозиції):

.

Тут - плоска хвиля де Бройля, , - розмір ящика, - цілі числа, які вибираються згідно теореми Фур’є із умови, що показник експоненти повинен змінюватися на цілі кратні до . Множник , дорівнює:

.

Він визначає вагу, з якою входять окремі плоскі хвилі де Бройля до  функції (тобто стани з певними значеннями імпульсів). При чому має також місце нормування, що є наслідком теореми повноти в теорії рядів Фур’є

.

Останній вираз показує, що фізичний зміст мають не величини , а квадрати їхнього модуля , тому що лише в цьому разі сума ймовірностей того, що маємо всі можливі імпульси, дорівнює одиниці. Тут - ймовірність того, що частинка має імпульс . Середнє значення імпульсу або фізичної величини, яка залежить від нього, буде визначатись за формулою

,

яка може бути приведена до такого вигляду

, (6.29)

де замість імпульсу використовується оператор імпульсу . Доведення формули (6.29) наводиться у курсах квантової механіки [5, 6] та у додатку 1 в [7]. Ця властивість імпульсу є загальною для квантової механіки, в якій фізичні величини замінюються відповідними операторами фізичних величин.