5.2. Гіпотеза та формула де Бройля

Висновок, що частинки мають корпускулярні й хвильові властивості потребував відповідного співвідношення, яке б зв’язувало їх корпускулярні й хвильові властивості. Воно повинно бути релятивістським, тобто інваріантним щодо перетворень Лоренца.

Стан руху матеріальної частинки характеризується чотирьохвимірним вектором енергії-імпульсу

(5.17)

Плоска хвиля характеризується, з іншого боку, сукупністю таких чотирьох величин:

(5.18)

де - хвильовий вектор, - частота, - швидкість світла, - повна енергія, - імпульс, тобто хвиля теж має чотирьохвимірну величину подібну до чотирьохвимірного вектора енергія-імпульс. Для того, щоб був чотирьохвимірним вектором, потрібно, щоб цей вектор теж був інваріантним до перетворень Лоренца. Це виконується тоді, коли окремі складові цього вектора відрізняються від складових вектора імпульс-енергія сталим множником:

(5.19)

або (5.20)

(5.21)

Співвідношення (5.20) та (5.21) збігаються з аналогічними співвідношеннями для фотонів (квантів електромагнітних хвиль)

(5.20)

(5.21)

де - стала Планка. Луі де Бройль, формулюючи свою гіпотезу, допустив, що подібність між фотонами й частинками настільки повна, що

(5.22)

Наступні експерименти й подальший розвиток фізики підтвердили це припущення, а співвідношення

, (5.23)

отримали назву формул де Бройля. Із цих формул легко знайти формулу для довжини хвилі де Бройля

. (5.23*)

Зробимо оцінки довжин хвилі де Бройля. У нерелятивістському випадку, коли , швидкість електрона визначиться його прискорюючим потенціалом :

. (5.23**)

Підстановка цього виразу для швидкості у формулу де Бройля (5.23*) дає: , якщо підставити значення фундаментальних констант в системі СІ, то , або , де виражено в вольтах.

У релятивістському випадку потрібно враховувати залежність У цьому разі треба використовувати релятивістські вирази для кінетичної енергії та залежності маси від швидкості електрона:

^,

де Розв’язавши ці два рівняння відносно або , отримаємо релятивіський вираз для довжини хвилі де Бройля:

, - в вольтах.

У таблиці 5.1 наведені чисельні значення довжин хвиль де Бройля для електронів із різними значеннями енергії .

Таблиця 5.1. Довжини хвилі де Бройля електронів різних енергій

	1	10	100	200	1000	104	105
	12,2	3,9	1,2	0,86	0,39	0,12	3,710-2

Аналізуючи цю таблицю а також формулу (5.23) для довжини хвилі де Бройля, можна дійти до таких висновків.

(1) Макротіла зі скінченими масами, наприклад, мають дуже малі довжини хвиль де Бройля навіть, якщо вони рухаються зі швидкістю звука Вони поводяться як класичні тіла, бо не можна створити перепони або гратки, на яких вдавалося б спостерігати їх дифракцію.

(2) Надзвичайно швидкі елементарні частинки, наприклад, електрони при великих швидкостях мають також надзвичайно малі значення довжин хвиль де Бройля, тому що при Такі частинки будуть виявляти переважно корпускулярні властивості.

(3) Для електронів з енергіями довжини хвиль де Бройля стають співрозмірними з атомними розмірами, тому за цих умов найпростіше спостерігати та виявляти їх хвильові властивості.

(4) Для нейтронів та протонів, маси яких у 1836 більші за маси електронів, довжини хвиль де Бройля стають співрозмірними з атомними розмірами при енергіях менших, ніж . Тому їх хвильові властивості на атомних ґратках можна спостерігати у випадку повільних (холодних) протонів та нейтронів.