20.6. Густина станів

Кожна зона має свій енергетичний спектр - залежність енергії квазічастинок від квазіімпульсу яку також називають дисперсійною залежністю. Дисперсійна залежність визначає таку важливу характеристику твердих тіл як густина станів Густиною станів називається кількість можливих фізично нееквівалентних енергетичних станів у малому інтервалі енергій у одиниці об’єму, віднесеному до ширини інтервалу :

, (20.23)

де - кількість станів з енергіями в інтервалі від до з урахуванням виродження , де - спін частинки в одиницях  (для електронів тому ).

Так як квазічастинки підкоряються законам квантової механіки, то відповідно до співвідношення невизначеності вони займають у фазовому просторі скінченний об’єм:

або

(20.24)

де - об’єм, у якому квазічастинка вільно рухається. Для визначення у формулі (20.23) потрібно знайти кількість елементарних фазових комірок в інтервалі квазіімпульсів від до і помножити їх на - кількість спінових станів квазічастинки в елементарній фазовій комірці.

Виберемо у фазовому просторі дві ізоенергетичні поверхні - поверхні з , які відрізняються за енергією на величину Виберемо на одній з ізоенергетичних поверхонь малу площу . Об’єм, обмежений і цими поверхнями, визначиться інтегралом:

, (20.25)

де - найкоротша відстань між двома ізоенергетичними поверхнями. Якщо цей об'єм поділити на об'єм елементарної комірки у фазовому просторі (формула (20.24)) і помножити на виродження - можливу кількість спінових станів у комірці то отримаємо густину станів, віднесену до одиниці об’єму

. (20.26)

Формула (20.26) показує, що густина станів залежить від дисперсії

Для майже вільних станів квазічастинок – електронів має місце квадратичний закон дисперсії , для якого , а у сферичній системі координат дорівнює Після інтегрування по від 0 до та по від 0 до остаточно отримаємо таку формулу для густини станів:

. (20.27)

Для металів густина станів у наближенні квазівільних електронів залежить від їхньої енергії за формулою (20.27). Ці стани заповнюються електронами при до енергії Фермі, як це показано на рис.20.10. Інтеграл густини станів по всім енергіям від 0 до енергії

Рис. 20.10. Залежності у металі в наближенні квазівільних електронів: а) , б) ; – густина станів, - функція Фермі.

Фермі дає - повну кількість електронів у металі, що дозволяє зв’язати з енергією Фермі :

. (20.28)

Енергетичний розподіл електронів у твердих тілах можна досліджувати за допомогою вимірювання тонкої протяжної структури країв рентгенівських спектрів поглинання (§14.2), а також рентгенівських спектрів випромінювання. На рис.20.10.б зображена схема енергетичних рівнів у кристалі натрію. Стрілками на ньому позначені можливі електронні переходи з К рівня на вільні, не заповнені електронами рівні, які знаходяться вище рівня Фермі.