11.2. Теорема Лагранжа. Формула конечных приращений

Теорема 11.2. (теорема Лагранжа)

Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] (f(x)∈C[a, b]) и дифференцируема на интервале (a, b) (f(x)∈D(a, b)). Тогда существует хотя бы одна точка ξ∈(a, b) такая, что справедливо равенство

f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a),        a<ξ<b.          (11.1)

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Рассмотрим вспомогательную функцию

F(x)=f(x)−λx,                                             (11.2)

где λ − некоторая постоянная. Определим λ из условия F(a)=F(b), или f(a)−λa=f(b)−λb:

λ=f(b)−f(a)b−a.                                                (11.3)

Функция F(x) удовлетворяет всем условиям теоремы Ролля. Действительно, F(x)∈C[a, b],F(x)∈D[a, b], F(a)=F(b). Поэтому существует точка ξ∈(a, b) такая, что F′(ξ)=0. Изформулы (11.2) имеем F′(x)=f′(x)−λ. Тогда из уравнения F′(ξ)=0, или f′(ξ)−λ=0найдем λ=f′(ξ). Подставляя это значение λ в (11.3), получим

f′(ξ)=f(b)−f(a)b−a,                                      (11.4)

или f(b)−f(a)=f′(ξ)(b−a). Теорема доказана.

■

Рис. 11.3

Замечание 11.3.

(геометрический смысл теоремы Лагранжа)Правая часть равенства (11.4)есть тангенс угла наклона хорды AB, стягивающей конечные точки графика функции y=f(x) на отрезке [a, b] к положительному направлению оси абсцисс (рис. 11.3). Левая часть этого равенства равна тангенсу угла наклона касательной к графику функции y=f(x) в некоторой точке (ξ, f(ξ)),где ξ∈(a, b). Таким образом, теорем Лагранжа утверждает, что, если функция f(x) на отрезке[a, b] удовлетворяет условиям теоремы, то найдется хотя бы одна точка ξ∈(a, b) такая, что касательная к кривой в точке (ξ, f(ξ)) параллельна хорде, стягивающей концы кривой AB. Из рисунка 11.3 видно, что в данном случае существуют две точки ξ1 и ξ2, для которых справедливаформула (11.4).

Замечание 11.4.

1) Теорема Ролля есть частный случай теоремы Лагранжа, так как при f(a)=f(b) формула Лагранжа формула (11.4) сводится к равенству f′(ξ)=0.

2) Формулу Лагранжа можно записать в другом виде, если учесть, что ξ=a+θ(b−a), где θ∈(0, 1). Тогда из формулы (11.4) имеем

f(b)−f(a)=f′(a+θ(b−a))(b−a),      0<θ<1.          (11.5)

Заметим, что формула Лагранжа справедлива как для a<b, так и для a>b.

3) Если положить a=x, b=x+Δx, то b−a=Δx, и формула Лагранжа примет вид

f(x+Δx)−f(x)=f′(x+θ Δx)Δx,          0<θ<1.            (11.6)

Формула (11.6) называется формулой конечных приращений . Она дает точное значение приращения функции в точке x при любом конечном приращении аргумента Δx, в отличие от приближенной формулы f(x+Δx)−f(x)≈f′(x)Δx (см. формулу (9.7)).

Рис. 11.4

Замечание 11.5.

( следствие из теоремы Лагранжа) Если f(x)∈C[a, b], f(x)∈D(a, b) и f′(x)=0   ∀x∈(a, b), то f(x)=const на отрезке [a, b]. Этот вывод следует, например, из геометрического смысла производной. Если f′(x)=0   ∀x∈(a, b), то касательная к кривой y=f(x) в каждой точке интервала (a, b) параллельна оси Ox. Следовательно, f(x)=constна отрезке [a, b] (рис. 11.4).

Пример 11.2.

Проверить выполнение условий теоремы Лагранжа для функции f(x)=x−x3 на отрезке [−2, 1] и найти соответствующие значения ξ.

Р е ш е н и е.

 Очевидно, что f(x)∈C[−2, 1], f(x)∈D(−2, 1), так как ∀x∈(−2, 1) существует f′(x)=1−3x2. Условия теоремы Лагранжа выполнены. Следовательно, на интервале (−2, 1) существует хотя бы одна точка ξ, для которой справедливо равенство f(1)−f(−2)=f′(ξ)(1−(−2)). Так как f(1)=0, f(−2)=6, то 0−6=f′(ξ)⋅3,f′(ξ)=−2. Учитывая, что f′(x)=1−3x2, найдем точку ξ из уравнения f′(ξ)=1−3ξ2=−2. Отсюда ξ1, 2=±1. Искомой является точка ξ1=−1, так как только ξ1=−1∈(−2, 1).

11.3. Теорема Коши. Обобщенная формула конечных приращений

Теорема 11.3. 

Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a, b] (f(x), g(x)∈C[a, b]) дифференцируемына интервале (a, b) (f(x), g(x)∈D(a, b)) и g′(x)≠0 на (a, b). Тогда существует хотя бы одна точкаξ∈(a, b) такая, что выполняется равенство

f(b)−f(a)g(b)−g(a)=f′(ξ)g′(ξ),        a<ξ<b.                           (11.7)

Формулу (11.7) называют обобщенной формулой конечных приращений или формулой Коши .

1) Формула Лагранжа (11.1) есть частный случай формулы Коши при g(x)=x.

2) Формула Коши, как и формула Лагранжа, справедлива и для a<b, и для a>b.

Пример 11.3.

Проверить выполнение условий теоремы Коши для функций f(x)=x3 и g(x)=x2 на отрезке [1, 3] и найти соответствующие значения ξ.

Р е ш е н и е.

 Очевидно, что f(x), g(x)∈C[1, 3], f(x), g(x)∈D(1, 3), так как на интервале (1, 3)существуют производные f′(x)=3x2, g′(x)=2x. Кроме того, g′(x)=2x≠0 на (1, 3). Таким образом, все условия теоремы Коши выполнены. Следовательно, на интервале (1, 3) существует хотя бы одна точка ξ, для которой справедливо равенство f(3)−f(1)g(3)−g(1)=f′(ξ)g′(ξ), или 134=3x22x∣∣x=ξ=32ξ. Отсюда ξ=136. Полученное значение ξ=136 и является искомым, так как ξ=136∈(1, 3).