14.1. Выпуклость, вогнутость, точки перегиба кривой

Определение 14.1.

Пусть кривая y=f(x) имеет в точке (x0,  f(x0)) касательную, не параллельную оси Oy (т. е. функция f(x) имеет конечную производную f′(x) в точке x0 ). Кривая называется выпуклой (вогнутой) в точке (x0,  f(x0)), если в некоторой окрестности точки x0 кривая расположена ниже (выше) касательной, проведенной в точке (x0,  f(x0)).

Условимся точку (x0,  f(x0)), в которой кривая y=f(x) выпукла (вогнута), обозначать ее абсциссой x0.

Рис. 14.1

На рис. 14.1 показана кривая, выпуклая в точке x1 и вогнутая в точке x3.

Определение 14.2.

Кривая называется выпуклой (вогнутой) на интервале , если она выпукла (вогнута) в каждой точке этого интервала.

Определение 14.3.

Точка (x0,  f(x0)) называется точкой перегиба кривой y=f(x), если в достаточно малой окрестности точки x0 для x<x0 кривая выпукла (вогнута), а для x>x0 − вогнута (выпукла).

На рис. 14.1 точка (x2,  f(x2)) − точка перегиба кривой y=f(x).

Замечание 14.1.

В точке перегиба кривая меняет характер своей изогнутости: при переходе подвижной точки по кривой через точку перегиба кривая из выпуклой становится вогнутой, или наоборот. Изопределения 14.3 cледует, что касательная, если она существует, в точке перегиба кривой пересекает эту кривую. Заметим, что о точке перегиба (x0,  f(x0)) кривой y=f(x) можно говорить лишь в случае, когда кривая имеет касательную в некоторой окрестности точки x0,кроме, быть может, самой точки x0.

В дальнейшем точку перегиба (x0,  f(x0)) кривой y=f(x) будем обозначать только ее абсциссой x0.

Рис. 14.2

Рассмотрим кривую, изображенную на рис. 14.2. Точки x1,  x5 и x7 являются ее точками перегиба, причем касательная в точке x1 не вертикальная, в точке x5 − вертикальная, в точке x7 вообще не существует касательной. В точках x2,  x3, x4,  x6 перегиба нет.

Теорема 14.1. (достаточные условия выпуклости ( вогнутости) кривой в точке)

Пусть функция y=f(x) имеет в некоторой окрестности точки x0 вторую производную f″(x0),непрерывную в точке x0. Тогда при условии f″(x0)<0 (f″(x0)>0) кривая y=f(x) выпукла (вогнута) в точке x0.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Запишем разложение функции y=f(x) в окрестности точки x0 по формуле Тейлора (см. теорему 12.1), полагая n=2: :

f(x)=f(x0)+f′(x0)1!(x−x0)+f″(ξ)2!(x−x0)2,

где точка ξ лежит между x и x0.

Уравнение касательной к графику функции y=f(x) в точке x0 имеет вид

yкас=f(x0)+f′(x0)(x−x0)

(см. пример 7.13). Так как yкр=f(x), то из последних двух соотношений следует

yкр−yкас=f″(ξ)2!(x−x0)2.

Знак разности yкр−yкас совпадает со знаком f″(ξ). По условию f″(x) − функция непрерывнаяв точке x0 и f″(x0)≠0. Следовательно, в достаточно малой окрестности точки x0 функция f″(x)сохраняет знак (см. теоремы 6.3). В этой окрестности знак f″(ξ) совпадает со знаком f″(x0).

Учитывая, что (x−x0)2>0 при x≠x0, заключаем, что знак разности yкр−yкас совпадает со знаком f″(x0). При этом, если f″(x0)<0, то yкр−yкас<0, т. е. yкр<yкас и, следовательно, кривая выпукла в точке x0. Если же f″(x0)>0, то yкр−yкас>0, yкр>yкас и поэтому кривая вогнута в точке x0. Теорема доказана.

■

Из определения 14.2 и теоремы 14.1 следует, что если функция y=f(x) имеет в каждой точке x интервала(a,  b) непрерывную вторую производную f″(x) и f″(x)<0 (f″(x)>0)  ∀x∈(a,  b), то кривая y=f(x) выпукла (вогнута) на интервале (a,  b). Учитывая, что f′(x)=tg α, где α − угол наклона к положительной полуоси Ox касательной к кривой y=f(x) в точке x, легко представить выпуклую или вогнутую кривую на некотором интервале. Если f″(x)<0 на (a,  b) (f″(x)>0 на (b,  c) ), то производная f′(x)=tg α и одновременно угол α убывают (возрастают) с ростом x, и кривая y=f(x) выпукла на интервале (a,  b) (вогнута на интервале (b,  c) ) (рис. 14.3).

Рис. 14.3

Рис. 14.4

Рассмотрим функцию y=lnx, определенную на интервале (0,  +∞) (рис. 14.4). Найдем ее вторую производную: y′=1x; y″=−1x2. Так как y″<0 для любого x∈(0,  +∞), то кривая y=lnx выпукла во всей области определения.

Теорема 14.2. (необходимое условие существования точки перегиба)

Пусть x0 − точка перегиба кривой y=f(x) и функция f(x) имеет в некоторой окрестности точки x0вторую производную f″(x), непрерывную в точке x0. Тогда f″(x0)=0.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Предполoжим противное. Пусть для определенности f″(x0)<0. . Тогда в силу непрерывностифункции f″(x) в точке x0 существует окрестность точки x0, в которой f″(x)<0 (см. теорему 6.3). Следовательно, по теореме 14.1, в этой окрестности кривая выпукла, т. е. точка x0 не является точкой перегиба, что противоречит условию. Аналогично приходим к противоречию, предполагая f″(x0)>0. Следовательно, f″(x0)=0. Теорема доказана.

■

Подчеркнем, что равенство f″(x0)=0 есть только необходимое условие существования точки перегиба кривой y=f(x). Из условия f″(x0)=0 не следует, что x0 есть точка перегиба кривой y=f(x).

Рассмотрим две функции y1=x3 и y2=x4. Вторые производные этих функций y″1=6x и y″2=12x2в точке x=0 равны нулю. При этом для кривой y1=x3 точка x=0 является точкой перегиба, а кривая y2=x4 в точке x=0 перегиба не имеет.

Теорема 14.3. (достаточное условие существования точки перегиба)

Пусть функция f(x) имеет вторую производную f″(x) в окрестности точки x0, кроме, быть может самой точки x0. Если f″(x) меняет знак при переходе x через точку x0, то x0 − точка перегиба кривой y=f(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Если f″(x) при переходе через точку x0 меняет знак с плюса на минус, то при переходе через эту точку вогнутость кривой меняется на выпуклость, и, следовательно, x0 − точка перегиба кривой y=f(x). Аналогично можно доказать, что x0 является точкой перегиба кривой y=f(x) если f″(x) при переходе через точку x0 меняет знак с минуса на плюс.

■

Заметим, что если f″(x) сохраняет знак при переходе через точку x0, то в точке x0 кривая y=f(x) не имеет перегиба.

Определение 14.4.

Точки, в которых функция y=f(x) определена, а вторая производная f″(x) либо равна нулю, либо не имеет конечного значения, называются критическими точками функции по второй производной .

Пусть функция f(x) имеет вторую производную f″(x) всюду в области определения, кроме, быть может, конечного числа точек. Тогда можно доказать, что интервалы выпуклости и вогнутости кривой y=f(x)разделяются критическими точками функции f(x) по второй производной.

Пример 14.1.

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой y=x2−x3.

Р е ш е н и е.

 Данная функция определена на всей числовой оси. Найдем ее критические точки по второй производной. Имеем y′=2x−3x2, y″=2−6x=6(13−x). Из уравнения y″=0 находим x=13. Следовательно, x=13 − критическая точка данной функции. Далее, y″>0 при всех x∈(−∞,  13), y″<0 при всех x∈(13,  +∞).Следовательно, кривая вогнута на интервале (−∞,  13) и выпукла на интервале (13,  +∞). Точка x=13 есть точка перегиба данной кривой, так как она разделяет интервалы выпуклости и вогнутости.

Пример 14.2.

Найти интервалы выпуклости, вогнутости и точки перегиба кривой y=(1+x2)ex.

Р е ш е н и е.

 Данная функция определена при всех x∈(−∞,  +∞). Имеем y′=ex(1+x)2,y″=ex(1+x)2+2(1+x)ex=ex(1+x)(3+x). Находим критические точки функции по второй производной из уравнения y″=0, или ex(1+x)(3+x)=0.Отсюда x1=−3 и x2=−1. Эти точки разбивают область определения функции на три интервала: (−∞,  −3), (−3,  −1), и (−1,  +∞). Определим знак y″ на каждом из полученных интервалов. Очевидно, что y″>0 при x∈(−∞,  −3)∪(−1,  +∞) и y″<0 при x∈(−3,  −1). Следовательно, кривая y=(1+x2)ex вогнута на интервалах (−∞,  −3) и (−1,  +∞) и выпукла на интервале (−3,  −1). Точки x1=−3 и x2=−1, разделяющие интервалы выпуклости и вогнутости, являются точками перегиба кривой.