8.1. Производная сложной функции. Логарифмическая производная

Теорема 8.1. (правило дифференцирования сложной функции)

Пусть функция u=ϕ(x) определена на множестве Dϕ, функция y=f(u) − на множествеDf,  ϕ(x)∈Df, и, следовательно, на множестве Dy=Dϕ определена сложная функцияy(x)=f(ϕ(x)).

Если функция u=ϕ(x) имеет производную в точке x0∈Dϕ, функция y=f(u) имеет производную в точке u0=ϕ(x0)∈Df, то в точке x0 существует производная yx′(x0) сложной функцииy(x)=f(ϕ(x)), причем

yx′(x0)=fu′(u0)⋅ϕx′(x0).                (8.1)

В формуле (8.1)через yx′(x0) обозначена производная функции f(ϕ(x)) по переменной x в точке x0,т.е.

yx′(x0)=limΔx→0f(ϕ(x0+Δx))−f(ϕ(x0))Δx,

через fu′(u0) − производная функции f(u) по переменной u в точке u0=ϕ(x0), т.е.

fu′(u0)=limΔu→0f(u0+Δu)−f(u0)Δu∣∣∣u0=ϕ(x0),

через ϕx′(x0) − производная функции ϕ(x) по переменной x в точке x0, , т.е.

ϕx′(x0)=limΔx→0ϕ(x0+Δx)−ϕ(x0)Δx.

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Приведем доказательство теоремы 8.1 для случая Δu≠0. Запишем отношение ΔyΔx в виде ΔyΔx=ΔyΔu⋅ΔuΔx. Используя теорему 4.12 о пределе произведения двух функций, получим

yx′(x0)=limΔx→0ΔyΔx=limΔx→0(ΔyΔu⋅ΔuΔx)=limΔx→0ΔyΔu⋅limΔx→0ΔuΔx.

Из условия существования производной функции u=ϕ(x) в точке x0 следует непрерывность этой функции в точке x0 (см. теорему 7.1), т.е. Δu→0 при Δx→0. Поэтому

y′x(x0)=limΔu→0ΔyΔu⋅limΔx→0ΔuΔx.           (8.2)

Так как limΔu→0ΔyΔu=f′u(u0) при u0=ϕ(x0) и limΔx→0ΔuΔx=ϕ′x(x0), то из равенства (8.2)окончательно получим формулу (8.1)Теорема доказана.

■

Приведенное доказательство теряет силу, если Δu=0. Можно доказать, что теорема 8.1 и в этом случае является справедливой.

Замечание 8.1.

Обычно на практике при использовании теоремы 8.1 опускают индекс "0" у аргументов x и u,предполагая, что в точках x и u=ϕ(x) выполнены все условия теоремы 8.1, и записываютформулу (8.1) в виде

y′x(x)=f′u(u)⋅ϕ′x(x),  или   y′x=y′u⋅u′x.     (8.3)

В дальнейшем, если не указана конкретная точка, производная y′x(x) вычисляется при всех допустимых значениях аргумента x. Напомним, что функцию u=ϕ(x) в формуле (8.3) называют промежуточным аргументом сложной функции y=f(ϕ(x)). Формула (8.3) может быть обобщена на любое число промежуточных аргументов. Так, если y=f(u),  u=ϕ(v),  v=ψ(x), то

y′x(x)=f′u(u)⋅ϕ′v(v)⋅ψ′x(x)   или   y′x=y′u⋅u′v⋅v′x.     (8.4)

Пример 8.1.

Найти производную функции y=x2+1−−−−−√.

Р е ш е н и е.

Данная функция y(x) может быть записана в виде y(x)=f(u(x)), где f(u)=u√,  u(x)=x2+1. Поэтому

y′x=y′u⋅u′x=(u√)′⋅(x2+1)′=12u√⋅(2x)=xx2+1−−−−−√.

Пример 8.2.

Найти производную функции y=sin1x.

Р е ш е н и е.

Очевидно, что y=f(u(x)), где f(u)=sinu,  u(x)=1x. По формуле (8.3) найдем

y′x=y′u⋅u′x=(sinu)′⋅(1x)′=cosu⋅(−1x2)=−1x2⋅cos1x.

Пример 8.3.

Найти производную функции y=ln(cosx2).

Р е ш е н и е.

Запишем данную функцию в виде y(x)=f(u(v(x))), где f(u)=lnu,  u(v)=cosv,  v(x)=x2. По формуле (8.4) получим

y′x=f′u(u)⋅u′v(v)⋅v′x(x)=(lnu)′u⋅(cosv)′v⋅(x2)′x=1u⋅(−sinv)⋅2x=                    =1cosv⋅(−sinv)⋅2x=1cosx2⋅(−sinx2)⋅2x=−2x⋅tg x2.

Отметим, что на практике при дифференцировании сложных функций обычно опускают обозначения промежуточных аргументов.

Пример 8.4.

Найти производные следующих сложных функций, используя замечание 8.1 и опуская обозначения промежуточных аргументов: а) y=arctg ex+x2−−−−−−√; б) y=ln(arcsinx4); в) y=earccos3x.

Р е ш е н и е.

 а) y=arctg ex+x2−−−−−−√,

y′=(arctg ex+x2−−−−−−√)′u=ex+x2√⋅(ex+x2−−−−−−√)′v=ex+x2⋅(ex+x2)′x=                                          =11+ex+x2⋅12ex+x2−−−−−−√(ex+2x)=ex+2x2(1+ex+x2)ex+x2−−−−−−√;

б) y=ln(arcsinx4),

y′=1arcsin4x⋅11−x8−−−−−√⋅4x3=4x31−x8−−−−−√⋅arcsinx4;

в) y=earccos3x,

y′=earccos3x⋅(−11−9x2−−−−−−√)⋅3=−3earccos3x1−9x2−−−−−−√.

Определение 8.1.

Логарифмической производнойфункции y=f(x) называется производная от натурального логарифма модуля этой функции, т.е.

(ln|y|)′=y′y=f′(x)f(x).                  (8.5)

Формула (8.5)получена из формулы (8.3) с учетом равенства (ln|x|)′=1x. Последнее справедливо, так как (lnx)′=1x при x>0 и (ln(−x))′=(−x)′−x=1x при x<0.

Из формулы (8.5) для производной y′ функции y=f(x) имеем

y′=y⋅(ln|y|)′.                                 (8.6)

Пример 8.5.

Найти производную функции

y=(x+1)5(5−3x)4e2x(x+2)5−−−−−−√3.

Р е ш е н и е.

Запишем ln|y|=5ln|x+1|+4ln|5−3x|+2x+53ln|x+2|. Дифференцируя, получим

(ln|y|)′=5x+1+45−3x⋅(−3)+2+53⋅1x+2.

Используя формулу (8.6) найдем производную данной функции:

y′=y⋅(ln|y|)′=(x+1)5(5−3x)4e2x(x+2)5−−−−−−√3⋅(5x+1−125−3x+2+53(x+2)).

Пример 8.6.

Найти производную функции y=(cosx)tg x  (cosx>0).

Р е ш е н и е.

Очевидно, что ln|y|=tg x⋅ln(cosx). Тогда

(ln|y|)′=1cos2x⋅ln(cosx)+tg xcosx⋅(−sinx).

Следовательно, y′=y⋅(ln|y|)′=(cosx)tg x⋅(ln(cosx)cos2x−tg2x).