§ 9. Дифференциал функции, его свойства и приложения

9.1. Дифференцируемость функции. Дифференциал

Определение 9.1.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если приращение Δy=f(x0+Δx)−f(x0) этой функции в точке x0, отвечающее приращению аргумента Δx, можно представить в виде

Δy=AΔx+o(Δx),                    (9.1)

где A − постоянная, зависящая только от x0 и не зависящая от Δx,  o(Δx)− бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с Δx при Δx→0 (см. определение 5.1). Обозначают: f(x)∈D(x0).

Заметим, что приращение аргумента Δx может быть как положительным, так и отрицательным.

Определение 9.2.

Главная линейная относительно приращения аргумента часть приращения функции в разложении (9.1), т. е. выражение AΔx, где A≠0 называется дифференциалом функции y=f(x) в точке x0 и обозначается dy=AΔx или df=AΔx.

При A=0 дифференциал функции по определению считается равным нулю.

Таким образом, приращение функции, дифференцируемой в точке x0, можно представить в виде

Δy=dy+o(Δx).                          (9.2)

Пример 9.1.

Найти дифференциал функции y=1−x2 при x0=1,  Δx=−13, используя определение 9.2.

Р е ш е н и е.

 Так как y(x)=1−x2, то

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=1−(x0+Δx)2−1+x20=−x20−2x0Δx−Δx2+x20=−2x0Δx+o(Δx),

где o(Δx)=−(Δx)2. Отсюда dy=−2x0Δx. Окончательно находим

dy∣∣∣∣∣∣x0=1,Δx=−13=−2⋅1⋅(−13)=23.

Определение 9.3.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой на некотором интервале (a,  b), если онадифференцируема в каждой точке этого интервала. Обозначают: f(x)∈D(a,  b). Тогда в разложении (9.1) коэффициент A будет функцией x, а дифференциал dy − функцией x и Δx, т. е. dy=A(x)Δx.

Теорема 9.1. 

Для того чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x, необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала производная f′(x).

Д о к а з а т е л ь с т в о.

Необходимость. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x, т. е. по определению 9.1, ее приращение в этой точке записывается в виде Δy=AΔx+o(Δx). Здесь A не зависит от Δx, а o(Δx) − бесконечно малая более высокого порядка по сравнению с Δx, т. е. o(Δx)=α⋅Δx, где α→0 при Δx→0. Тогда ΔyΔx=A+α, limΔx→0ΔyΔx=A=f′(x).Следовательно, производная f′(x) существует и равна A.

Достаточность.Пусть функция y=f(x) имеет производную в точке x, т. е. limΔx→0ΔyΔx=f′(x).Тогда по теореме 4.3 о связи функции и ее предела отношение ΔyΔx=f′(x)+α, где α→0 при Δx→0. Следовательно, Δy=f′(x)Δx+αΔx=f′(x)Δx+o(Δx), т. е. по определению 9.1 функция y=f(x) дифференцируема в точке x. Теорема доказана.

■

Замечание 9.1.

Из теоремы 9.1 следует равносильность утверждений о дифференцируемости функции в точке и о существовании конечной производной функции в этой точке.

Так как в разложении 9.1 коэффициент A(x)=f′(x), то

Δy=f(x+Δx)−f(x)=f′(x)Δx+o(Δx).                 (9.3)

Из определения 9.2 дифференциала имеем

df=f′(x)Δx,    или    dy=y′Δx.                              (9.4)

В частности, для f(x)=x из формулы (9.4) получаем dx=1⋅Δx. Тогда

df=f′(x)dx,     или   dy=y′dx.                    (9.5)

Отсюда следует, что производную y′=f′(x) функции y=f(x) можно рассматривать как отношениедифференциала dy функции к дифференциалу dx аргумента. Таким образом, имеем еще одно обозначение производной функции y=f(x):

f′(x)=dfdx,     или   y′=dydx.

Пример 9.2.

Найти в произвольной точке x дифференциал dy функций: а) y=2x3+5x2−1; б) y=xex.

Р е ш е н и е.

 По формуле (9.5) получаем а) dy=y′dx=(2x3+5x2−1)′dx=(6x2+10x)dx; б) dy=y′dx=(xex)′dx=(ex+xex)dx.

Замечание 9.2.

Из теорем 7.1, 9.1 и замечания 9.1 следует необходимое условие дифференцируемости функций: если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

9.2. Свойства дифференциала

Приведенные далее свойства дифференциала справедливы в каждой точке x интервала, на которомдифференцируемы функции u=u(x),  v=v(x). Доказательство этих свойств следует из формулы (9.5) и свойств производных (см. теоремы 7.2, 7.3, 7.4).

10.  d(u±v)=du±dv.                                                                    ​​                                                                    20.  d(u⋅v)=u⋅dv+v⋅du.                                                            ​​                                                                 30.  d(uv)=v⋅du−u⋅dvv2,   v≠0.                                                       ​​                                                            

Например, если u=sinx и v=ex, то

d(sinx±ex)=d(sinx)±d(ex)=cosx dx±exdx=(cosx±ex)dx,d(sinx⋅ex)=sinx d(ex)+exd(sinx)=(sinx⋅ex+ex⋅cosx)dx,d(uv)=d(sinxex)=ex⋅d(sinx)−sinx⋅d(ex)(ex)2=excosx dx−sinx⋅exdxe2x=cosx−sinxexdx.

9.3. Геометрический смысл дифференциала. Вычисление приближенных значений функций с помощью дифференциала

Пусть график дифференцируемой в окрестности точки x0 функции y=f(x) имеет вид, представленный на рис. 7.2. Величины Δx,  f(x0),  f(x0+Δx) и Δy=f(x0+Δx)−f(x0) геометрически выражают соответственно длины отрезков AB=MC,  AM,  BN и CN. Прямая MD − касательная к графику функции в точке M. В силу геометрического смысла производной, f′(x0)=tg (∠DMC)=CDMC. Отсюда CD=f′(x0)⋅MC=f′(x0)⋅Δx=dy.

Следовательно, дифференциал dy=f′(x0)dx функции y=f(x) в точке x0 есть приращение ординаты касательной к графику функции в точке x0 при переходе из точки x0 в точку x0+Δx.

Представление приращения функции Δy по формуле (9.2) в виде двух слагаемых, т. е. Δy=f′(x0)Δx+o(Δx)=dy+o(Δx), соответствует разбиению отрезка CN на два отрезка: CN=CD+DN. Длина отрезка CD соответствует дифференциалу dy=f′(x)Δx, а длина отрезка DN − бесконечно малой o(Δx).

Запишем по формуле (9.3) приращение Δy дифференцируемой в точке x0 функции y=f(x) в виде

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=f′(x0)Δx+o(Δx).

Отсюда

f(x0+Δx)=f(x0)+f′(x0)Δx+o(Δx),

или

f(x0+Δx)=f(x0)+df(x0)+o(Δx)                          (9.6)

Заменим равенство (9.6) приближенным равенством

f(x0+Δx)≈f(x0)+df(x0),                                     (9.7)

т. е. отбросим o(Δx) − слагаемое более высокого порядка малости по сравнению с Δx.

Формулу (9.7) используют для приближенного вычисления в окрестности точки x0 значения f(x0+Δx)функции, дифференцируемой в точке x0.

Для вычисления приближенного значения функции f(x0+Δx) с помощью дифференциала предлагается следующая схема.

1. Указать общий вид функции x0 значение которой требуется вычислить.

2. Определить из условия задачи x0 и Δx.

3. Вычислить f(x0) и df(x0)=f′(x0)Δx.

4. Использовать формулу (9.7) для приближенного вычисления значения функции f(x) в точке x0+Δx.

Пример 9.3.

Вычислить приближенно значение cos61° с тремя десятичными знаками после точки, используяформулу (9.7).

Р е ш е н и е.

 Проведем вычисления по приведенной выше схеме. 1. В данном случае f(x)=cosx. 2. x0=60°=π3,  x0+Δx=61°,  Δx=61°−60°=1°=π180. 3.f(x0)=cosπ3=12,  f′(x0)=f′(π3)=−sinπ3=−3√2, df(x0)=f′(x0)Δx=−3√2⋅π180. 4. По формуле (9.7) получим

cos61°=f(x0+Δx)≈f(x0)+df(x0)=12−3√2⋅π180≈0.485.