§2. Подстановки

Определение. Любая биекция множества первых n натуральных чисел в себя называется подстановкой из n элементов.

Пусть М={1, 2, 3, ... , n}. Так как подстановка  это биекция множества М на М, то ее можно задать перечислением пар элементов прообраз - образ. Принята следующая форма записи подстановок:

A= , где _k, i_kM.

Т ак как в определении подстановки существенно лишь то, как по данному прообразу определяется образ, и не существенно, в каком порядке записаны прообразы и соответствующие им образы, то всякую подстановку можно записать в виде:

A= .

Так как каждая строка подстановки есть перестановка, то можно говорить о четности верхней и нижней строк подстановки, понимая под этим четность соответствующих перестановок. Причем при любой форме записи подстановки А четности ее строк либо совпадают, либо различны.

Определение. Подстановка, у которой обе строки имеют одинаковую четность, называется четной.

Теорема. Подстановка А тогда и только тогда будет четной, когда общее число инверсий в верхней и нижней строках четно, и будет нечетной тогда и только тогда, когда общее число инверсий в верхней и нижней строках нечетно.

(Доказательство  самостоятельно.)

§3. Группа подстановок

Рассмотрим множество подстановок из n элементов

S_n=

и введем на этом множестве операцию умножения. Произведением подстановок А и В будем называть результат последовательного выполнения подстановок А и В (слева направо).

Примеры

1. Найти произведение подстановок А и В если

, ,

тогда

.

2. Найти произведение подстановок А и В если

, ,

тогда

.

Теорема. Алгебра (S_n, )  группа.

Доказательство

Проверим выполнимость всех аксиом группы. Аксиома замкнутости выполняется по определению бинарной алгебраической операции  на множестве S_n. Проверим аксиому ассоциативности. Пусть

; ; .

Найдем образ произвольного элемента i при выполнении подстановки (AB) C. i_i _i _i, то есть образом элемента i будет элемент _i. Теперь найдем образ того же элемента при выполнении подстановки A(BC): _i _i _i _i _i и _i  i _i . Так как элемент i выбран произвольно, то любой элемент верхней строки подстановки А отображается в один и тот же элемент нижней строки подстановки С, независимо от последовательности выполнения подстановок. Легко видеть, что роль единицы играет тождественная подстановка

E=

и, наконец, для любой подстановки A= существует подстановка

A^-1= , такая, что AA^-1=E; A^-1 A =E, таким образом, все аксиомы группы выполняются. Теорема доказана.

Замечание. Умножение подстановок не коммутативно. Приведем пример.

AB=

BA= ,

то есть AB BA.

§4. Определители n-го порядка

Рассмотрим систему линейных уравнений

,

где a_ij , b_j C, a_ij  коэффициенты при неизвестных, b_j  свободные члены.

В школьном курсе алгебры рассматривается решение систем линейных уравнений с 2 и 3 неизвестными. Обобщением этой задачи является задача решения системы s линейных уравнений с n неизвестными. Решение этой задачи приводит нас к необходимости введения новых понятий.

Определение. Таблицу, составленную из коэффициентов при неизвестных, принято называть матрицей системы.

Обозначается

.

Матрица А состоит из s строк и n столбцов. Будем называть такую матрицу прямоугольной размера sn. Если sn, то матрицу будем называть квадратной.

Пусть А  квадратная матрица размера nn

, a_ij C.

Определение. Определителем n-го порядка, соответствующим квадратной матрице А, называется сумма n! слагаемых, имеющая вид

,

где t_k  произведение n элементов матрицы А, взятых по одному из каждой строки и каждого столбца, а _k - есть общее число инверсий, содержащихся в подстановке из первых и вторых индексов элементов, входящих в произведение t_k.

Обозначается определитель следующим образом

, где t_k= , а _k  есть общее число инверсий, содержащихся в подстановке

.

Примеры

1. Пусть n=2. Имеем квадратную матрицу второго порядка

и соответствующий ей определитель

= ,

где ₁  число инверсий в подстановке и, следовательно, равно 0;

₂  число инверсий в подстановке и, следовательно, равно 1.

= . (1)

2. Если n=3, имеем квадратную матрицу 3-го порядка

Определитель 3-го порядка, соответствующий данной матрице

+ ,

где ₁  число инверсий в подстановке , следовательно, ₁ =0;

₂  число инверсий в подстановке , следовательно, ₂ =2;

₃  число инверсий в подстановке , следовательно, ₃=2;

₄  число инверсий в подстановке , следовательно, ₄=3;

₅  число инверсий в подстановке , следовательно, ₅=1;

₆  число инверсий в подстановке , следовательно, ₆=1.

Таким образом, определитель 3-го порядка

= . (2)

3) Вычислить определитель матрицы

.

Воспользуемся формулой (2)

А=318+25(-1)+674-41(-1)-268-573=24-10+168+4-96-105= =-15.