4. Геометрические характеристики фигур. Статический момент. Центробежный момент инерции, полярный момент инерции (основные понятия).

Центр тяжести твердого тела – точка, неизменно связанная с этим телом, через которую проходит линия действия равнодействующей сил тяжести частиц тела при любом положении тела в пространстве. При этом поле тяжести считается однородным, т.е. силы тяжести частиц тела параллельны друг другу и сохраняют постоянную величину при любых поворотах тела. Координаты центра тяжести:

где x_k, y_k, z_k – координаты точек приложения сил тяжести P_k частиц тела. Центр тяжести – геометрическая точка и может лежать и вне пределов тела (например, кольцо).

Статический момент площади плоской фигуры – сумма произведений элементарных площадей, входящих в состав площади фигуры, на алгебраические значения расстояний до некоторой оси. Статический момент площади плоской фигуры относительно оси измеряется в см³. Статический момент площади плоской фигуры относительно оси, проходящей через центр тяжести фигуры, равен нулю.

Вспомогательные теоремы для определения положения центра тяжести:

Теорема 1. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести тела находится на этой оси.

Теорема 2. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то его центр тяжести находится в этой плоскости.

Теорема 3. Объем тела вращения, полученного вращением плоской фигуры вокруг оси, лежащей в плоскости фигуры, но не пересекающей ее, равен произведению площади фигуры на длину окружности, описанной ее центром тяжести, .

Теорема 4. Площадь поверхности вращения, полученной вращением плоской кривой вокруг оси, лежащей в плоскости этой кривой, но не пересекающей ее, равна произведению длины этой кривой на длину окружности, описанной ее центром тяжести.

Определяя положение центра тяжести плоской фигуры с вырезанной из нее частью, можно считать площадь этой части отрицательной и тогда: и т.д. — способ отрицательных площадей (объемов).

Момент инерции тела (системы) относительно оси Оz: J_z=Σm_kh_k² При непрерывном распределении масс (тело) сумма переходит в интеграл: J_x=∫(y²+z²)dm, J_y=∫(z²+x²)dm, J_z=∫(x²+y²)dm – относительно координатных осей. J_z=Mρ², где ρ – радиус инерции тела – расстояние от оси до точки в которой нужно сосредоточить всего тела, чтобы ее момент инерции равнялся моменту инерции тела. Момент инерции относительно оси (осевой момент инерции) всегда >0.

Полярный момент инерции

J₀=∫(x²+y²+z²)dm; J_x+J_y+J_z=J₀ .

Центробежный момент инерции J_xy для материальной точки называется произведение ее координат x и y на ее массу m. Для тела центробежными моментами инерции называются величины, определяемые равенствами: J_xy=∫xydm; J_yz=∫yzdm; J_zx=∫zxdm. Центробежные моменты инерции симметричны относительно своих индексов, т.е. J_xy=J_yx и т.д. В отличие от осевых, центробежные моменты инерции могут иметь любой знак и обращаться в нуль.

5. МЕХАНИКА И СТАТИКА ТВЕРДОГО ТЕЛА

Механика твердого тела - один из наиболее трудных разделов курса. Как и механика материальной точки, он состоит из двух основных частей: кинематики и динамики. твердое тело можно рассматривать как систему материальных точек, относительные положения которых остаются неизменными.

Импульс (количество движения) — мера механического движения; представляет собой векторную величину, в классической механике равную для материальной точки произведению массы m этой точки на её скорость v и направленную так же, как вектор скорости: p=mv

Момент импульса характеризует количество вращательного движения. Величина, зависящая от того, сколько массы вращается, как она распределена относительно оси вращения и с какой скоростью происходит вращение. Замечание: момент импульса относительно точки — это псевдовектор, а момент импульса относительно оси — скалярная величина. Момент импульса L частицы относительно некоторого начала отсчёта определяется векторным произведением ее радиус-вектора и импульса: L=rxp, где r — радиус-вектор частицы относительно выбранного неподвижного в данной системе отсчета начала отсчёта, p — импульс частицы.

В системе СИ момент импульса измеряется в единицах джоуль-секунда; Дж·с. Механика различает потенциальную энергию (или, в более общем случае, энергия взаимодействия тел или их частей) и кинетическую энергию (энергия движения). Их сумма называется полной энергией. Для абсолютно твёрдого тела полную кинетическую энергию можно записать в виде суммы кинетической энергии поступательного и вращательного движения:

, где m — масса тела, v — скорость центра масс тела, I — момент инерции тела, ω— угловая скорость тела.