Зависимость стабильности временных рядов и их фрактальной структуры

,

Большие по модулю значения означают

наличие значительного ценового движения за период в 32 дня, а маленькие

– как правило, небольшие колебания цен, т.е. флэт.

Как правило, при наличие тренда >1, а при наличии флэта <1.

Чем больше значение , тем более выражена тенденция в поведении

цен.

– значение коэффициента наклона линии линейной регрессии,

проведенной по ряду цен. Чем больше по модулю значение ,

тем сильнее выражен тренд.

- разность между текущей ценой и ценой 32 дня

назад, нормированная на сумму модулей ежедневных приращений цен за

32 дня. В случае, если за 32 дня приращение цен ни разу не меняло знак

| |=1, если же награфике цен наблюдался флэт значение | | близко к нулю.

Чем более стабильно поведение исходного ряда

(колебания происходят возле одного уровня), тем ближе значение F к нулю

и наоборот, чем более выражен тренд, тем больше по модулю значение F.

Для исследования зависимостей ( m ) (i=1..5) исходные ряды, , разбивались на интервалы длиной 32 дня, смещенные друг относительно друга на 1 день. Для каждого исходного ряда, длиной 1300

дней было получено 1268 интервалов.

Рисунок . Зависимость F от Mu

Рисунок . Зависимость F от Mu

Рисунок . Зависимость F от Mu

Рисунок . Зависимость F от Mu

Рисунок . Зависимость F от Mu

Рисунок . Зависимость F от Mu

Рисунок . Зависимость F от Mu

Рисунок . Зависимость F от Mu

Прогнозирование

Численного значения фрактальных характеристик ряда позволяет естественным образом определить является ли текущее локальное состояние финансового ряд случайным блужданием или же трендом (флэтом). Этот факт можно попытаться использовать для прогнозирования. Действительно, в состоянии тренда можно использовать эконометрические методы, а в состоянии случайного блуждания предыдущую цену или же вообще отказаться от прогнозирования. Оценим качество такого прогноза. Рассмотрим ценовые ряды акций восьми крупнейших российских компаний. В каждом из рядов выделим участки для которых

µ< 0.5 , т.е. те участки где наблюдается тренд. Для каждой точки каждого участка построим прогноз, используя линейную регрессию по четырем предыдущим точкам.

Формально это можно записать следующим образом:

При , где коэффициенты a и b

оцениваются по набору точек

.

При прогноз не делается. Выберем теперь в качестве критерия качества прогноза дисперсию ошибки прогноза и сравним ее с дисперсией ценовых приращений.

Проведем локальный анализ и найдем Mu для каждого значения временного ряда, показанный на рисунке .

Рисунок , Локальный индекс Mu

Руководствуясь алгоритмом, построим прогноз на основании индекса Mu, результат на рисунке

Рисунок , График действительных значений и график прогноза

Найдем абсолютную ошибку прогноза, представленную на рисунке

Рисунок , График абсолютной ошибки

Показатели Ляпунова

Придерживаясь алгоритма описываемого в теоретической части, был произведён расчёт старшего показателя Ляпунова для системы временных рядов курса акций:

[1,2,3]	λ1=0.602
[3,4,5]	λ1=0.573
[4,5,6]	λ1=0.574
[5,6,7]	λ1=0.695

_{Рассчитаем показатель для модельных систем}

Система Магницкого	λ1=0.227
Систем а Вайдлиха-Трубецкого 25	λ1=0.0238

_{Положительные значения показателей характеризуют наличие в системах странного аттрактора и детерминированного хаоса}