29).Незав. Крив.Инт.2-го рода

Утверждение 1 Выражение P(x,y)dx+Q(x,y)dy является полным дифференциалом некоторой фун-ии U(x,y) тогда и т.д. dP/dY=dQ/dX Док-во P(x,y)dx+Q(x,y)dy – полный дифференциал P(x,y)dx+Q(x,y)dy=dU(x,y)=dU/dX*dx+dU/dY*dy dU/dX=P(x,y) (1) dU/dY=Q(x,y) (2) Надо док-ть что dP/dY=dQ/dX

Равенство(1) дифференцируем по у получаем dP/dY=d²U/dYdX Равенство(2) дифференцируем по х получаем dQ/dX=d²U/dXdY т.к. смешанные производные равны то dP/dY=dQ/dX. В ходе док-ва получается U(x,y)=

(x0,y0)-фиксированая точка Утверждение 2 Криволинейный интеграл 2 рода не зависит от пути интегрирования, т.е. от формы кривой соединяющей т.А и В dP/dY=dQ/dX Замечание Если С-замкнутый контур то , если вы-полнено утверждение 2

Теорема Если Д-замкнутая плоская область ограниченная контуром Г функции P(x,y), Q(x,y) непрерывны в этой области вместе со своими частными производными dP/dY,dQ/dX то имеет место равенство

,где граница Г обходится против часовой стрелки.

Пример Рассмотрим формулу площади: Положим P(x,y)=-y Q(x,y)=x dP/dY=-1 dQ/dX=1 Подставим в формулу Грина

2S=1/2 30

30).Поверхн.Интегр

. I. Рассмотрим F(x,y,z) – непрерывная фун-я Z=f(x,y) задает поверхность (x,y)εD – область в плоскости xoy Z=f(x,y) Разобьем S на элементы S_i i = 1…n (a_i, b_i, c_i) ε S_i ∆δ_i – площадь S_i Составим сумму ∆S_i

Опр. Если ∆δ_i , не зависящей от

Называют поверхностным интегралом первого рода и обозначают.

Геометрический смысл: - площадь поверхности S

Физический смысл:

Если F(x,y,z) – плотность, распределенная по поверхности S, то - масса поверхности S.

1).Поверх.Интег.2-го рода

S⁺ - сторона поверхности,которой соответствует нормаль n.

S^-- - сторона поверхности которой соответствует нормаль -n.

∆ П_i – прямая S_i на xoy Опр. Предел суммы при мелкости разбиения, стремящейся к нулю, называется поверхностным интегралом 2-ого рода

Аналогично: Если рассмотреть проекции на xoz: проекция на yoz:

Полный поверхностный интеграл:

32).Эл-ты теории поля

Будем называть числовые функции скалярными полями а векторные – векторными полями

Рассмотрим U(x,y,z) в области U

Опр. Градиентом называется вектор, обозначается gradU = ( , , )

Опр: Дивергенцией векторного поля называется скалярное поле: обозначается div

= + +

Опр. Ротором (вихрем) векторного поля (P,Q,R) называется векторное поле:

rot =( – ; – ; – )

Опр.Циркуляцей векторного поля (P,Q,R) по замкнутому контуру Г, называется криволинейный интеграл

Опр. Потоком векторного поля ā=(P,Q,R) через поверхность δ называются поверхностный интеграл 33).Ф-лы Стокса

Формула Стокса

Если функция P(х,у,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) непрерывна дифференцируемы в окрестности поверхности δ , то имеет место равенство

Г- граница δ

В координатной форме:

формула Стока позволяет вычислять криволинейный интеграл через поверхностный.

Формула Остроградского-Гаусса

Σ-замкнутая область в пространстве, ограниченная поверхностью δ. Фун-и P,Q,R непрерывно дифференцирована в области ς. Тогда имеет место равенство

В координатной форме

Формула Гаусса – Остроградского позволяет вычислять поверхностный интеграл через тройной

. 34).Соленоид. и потенц. вект. поля

Соленоидальные и потенциальные век. поля.

Опр. Векторное поле ā называется соленоидальным в области ς, если ограниченной поверхность равен нулю, т.е.

теорема: Для того чтобы векторное поле ā являлось соленоидальным необходимо и достаточно, чтобы div ā .

Док-во: следует из формулы Гаусса-Остроградского.

Опр. Если существует скалярное поле U, для которого ā явл-ся поле градиентов, т.е. ā▼U, то фун-я U называется потенциальным.

Опр. Векторное поле, для которого существует потенциал называется потенциальным.

Теорема: Для того чтобы векторное поле ā было потенциальным в области U необходимо и достаточно чтобы циркуляция по любому замкнутому контуру лежащему в этой области была равна нулю, т.е.

Опр. Область называется односвязной если любой замкнутый контур в этой области можно стянуть непрерывной информацией. (например круг)

Теорема Векторное поле ā явл-ся потенциальным в односвязной области когда ротор вектора равен нулю rot ā = 0

Док-во следует из формулы Стокса (Потенциальное поле является безвихревым).